Tesselações: características, tipos (regulares, irregulares), exemplos - Ciência - 2023

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otesselado são superfícies cobertas por uma ou mais figuras chamadas azulejos. Eles estão por toda parte: em ruas e edifícios de todos os tipos. Ladrilhos ou ladrilhos são peças planas, geralmente polígonos com cópias congruentes ou isométricas, que são colocadas seguindo um padrão regular. Desta forma, não ficam espaços descobertos e os ladrilhos ou mosaicos não se sobrepõem.

No caso de um único tipo de mosaico formado por um polígono regular ser usado, então um mosaico regular, mas se dois ou mais tipos de polígonos regulares forem usados, é um mosaico semi-regular.

Finalmente, quando os polígonos que formam a tesselação não são regulares, é um mosaico irregular.

O tipo de mosaico mais comum é aquele formado por mosaicos retangulares e particularmente quadrados. Na figura 1, temos um bom exemplo.

História de tesselações

Por milhares de anos, a tesselação foi usada para cobrir pisos e paredes de palácios e templos de diferentes culturas e religiões.

Por exemplo, a civilização suméria que floresceu por volta de 3500 aC. ao sul da Mesopotâmia, entre os rios Tigre e Eufrates, eles usaram tesselações em sua arquitetura.

Tesselações também despertaram o interesse de matemáticos de todas as idades: começando com Arquimedes no século 3 aC, seguido por Johannes Kepler em 1619, Camille Jordan em 1880, até os tempos contemporâneos com Roger Penrose.

Penrose criou um mosaico não periódico conhecido como Tesselação de Penrose. Eestes estes são apenas alguns nomes de cientistas que contribuíram muito sobre a tesselação.

Tesselações regulares

Tesselações regulares são feitas com apenas um tipo de polígono regular. Por outro lado, para que a tesselação seja considerada regular, todos os pontos do plano devem:

-Pertencente ao interior do polígono

-Ou para a borda de dois polígonos adjacentes

-Finalmente pode pertencer ao vértice comum de pelo menos três polígonos.

Com as restrições acima, pode ser mostrado que apenas triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos podem formar uma tesselação regular.

Nomenclatura

Existe uma nomenclatura para denotar os mosaicos que consiste em listar no sentido horário e separados por um ponto, o número de lados dos polígonos que circundam cada nó (ou vértice) do mosaico, sempre começando pelo polígono de menor número lados.

Esta nomenclatura se aplica a tesselações regulares e semirregulares.

Exemplo 1: mosaico triangular

A Figura 3 mostra um mosaico triangular regular. Deve-se notar que cada nó da tesselação triangular é o vértice comum de seis triângulos equiláteros.

A forma de denotar este tipo de mosaico é 3.3.3.3.3.3, que também é denotado por 3⁶.

Exemplo 2: mosaico quadrado

A Figura 4 mostra um mosaico regular composto apenas por quadrados. Deve-se notar que cada nó na tesselação é circundado por quatro quadrados congruentes. A notação que é aplicada a este tipo de mosaico de quadrados é: 4.4.4.4 ou alternativamente 4⁴

Exemplo 3: mosaico hexagonal

Em um mosaico hexagonal, cada nó é cercado por três hexágonos regulares, conforme mostrado na figura 5. A nomenclatura para um mosaico hexagonal regular é 6.6.6 ou, alternativamente, 6³.

Tesselações semi-regulares

Tesselações semirregulares ou arquimedianas consistem em dois ou mais tipos de polígonos regulares. Cada nó é circundado pelos tipos de polígonos que compõem a tesselação, sempre na mesma ordem, e a condição de borda é totalmente compartilhada com o vizinho.

Existem oito tesselações semi-regulares:

3.6.3.6 (mosaico tri-hexagonal)
3.3.3.3.6 (mosaico hexagonal cego)
3.3.3.4.4 (mosaico triangular alongado)
3.3.4.3.4 (mosaico quadrado sem corte)
3.4.6.4 (mosaico rombi-tri-hexagonal)
4.8.8 (mosaico quadrado truncado)
3.12.12 (mosaico hexagonal truncado)
4.6.12 (mosaico tri-hexagonal truncado)

Alguns exemplos de tesselações semirregulares são mostrados abaixo.

Exemplo 4: mosaico tri-hexagonal

É aquele que se compõe de triângulos equiláteros e hexágonos regulares na estrutura 3.6.3.6, o que significa que um nó da tesselação é circundado (até completar uma volta) por um triângulo, um hexágono, um triângulo e um hexágono. A Figura 6 mostra tal mosaico.

Exemplo 5: Tesselação hexagonal romba

Como o mosaico no exemplo anterior, este também consiste em triângulos e hexágonos, mas sua distribuição em torno de um nó é 3.3.3.3.6. A Figura 7 ilustra claramente esse tipo de mosaico.

Exemplo 6: mosaico rombi-tri-hexagonal

É um mosaico constituído por triângulos, quadrados e hexágonos, na configuração 3.4.6.4, que é mostrada na figura 8.

Tesselações irregulares

Tesselações irregulares são aquelas formadas por polígonos irregulares ou por polígonos regulares, mas não atendem ao critério de que um nó é um vértice de pelo menos três polígonos.

Exemplo 7

A Figura 9 mostra um exemplo de mosaico irregular, em que todos os polígonos são regulares e congruentes. É irregular porque um nó não é um vértice comum de pelo menos três quadrados e também existem quadrados vizinhos que não compartilham completamente uma aresta.

Exemplo 8

O paralelogramo cobre uma superfície plana, mas a menos que seja um quadrado, não pode formar um mosaico regular.

Exemplo 9

Hexágonos não regulares com simetria central tesselar uma superfície plana, conforme mostrado na figura a seguir:

Exemplo 10: tesselação do Cairo

É uma tesselação muito interessante, composta por pentágonos com lados de igual comprimento mas com ângulos desiguais, dois dos quais são retos e os outros três têm 120º cada.

Seu nome vem do fato de que esta tesselação é encontrada na calçada de algumas das ruas do Cairo, no Egito. A Figura 12 mostra a tesselação do Cairo.

Exemplo 11: Tesselação Al-Andalus

A tesselação em algumas partes da Andaluzia e do Norte da África são caracterizadas pela geometria e epigrafia, além de elementos ornamentais como a vegetação.

A tesselação de palácios como a da Alhambra era constituída por ladrilhos constituídos por peças de cerâmica de várias cores, com múltiplas (senão infinitas) formas que se desenrolavam em padrões geométricos.

Exemplo 12: mosaico em videogames

Também conhecido como teselação, é uma das novidades mais populares dos videogames. Trata-se de criar texturas para simular a tesselação dos diferentes cenários que aparecem no simulador.

Este é um reflexo claro de que esses revestimentos continuam a evoluir, cruzando as fronteiras da realidade.

Referências

Aprecie a matemática. Tesselações. Recuperado de: gustolasmatematicas.com
Rubiños. Tesselações resolveram exemplos. Recuperado de: matematicasn.blogspot.com
Weisstein, Eric W. "Demiregular tessellation." Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Research.
Wikipedia. Tesselação. Recuperado de: es.wikipedia.com
Wikipedia. Tesselação regular. Recuperado de: es.wikipedia.com