Teorema de Norton: descrição, aplicações, exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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Teorema de Norton: descrição, aplicações, exemplos e exercícios - Ciência
Teorema de Norton: descrição, aplicações, exemplos e exercícios - Ciência

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o Teorema de Norton, que se aplica a circuitos elétricos, estabelece que um circuito linear com dois terminais aeb, pode ser substituído por outro completamente equivalente, que consiste em uma fonte de corrente denominada INão conectado em paralelo com um resistor RNão.

Disse eu atualNão ou euN É aquele que fluiria entre os pontos a e b, se estivessem em curto-circuito. A resistência RN é a resistência equivalente entre os terminais, quando todas as fontes independentes desligam. Tudo o que foi dito está delineado na Figura 1.

A caixa preta na figura contém o circuito linear a ser substituído por seu equivalente Norton. Um circuito linear é aquele em que a entrada e a saída têm uma dependência linear, como a relação entre a tensão V e a corrente contínua I em um elemento ôhmico: V = I.R.


Essa expressão corresponde à lei de Ohm, onde R é a resistência, que também pode ser uma impedância, se for um circuito de corrente alternada.

O teorema de Norton foi desenvolvido pelo engenheiro elétrico e inventor Edward L. Norton (1898-1983), que trabalhou por muito tempo para a Bell Labs.

Aplicações do teorema de Norton

Quando você tem redes muito complicadas, com muitas resistências ou impedâncias e deseja calcular a tensão entre qualquer uma delas, ou a corrente que passa por ela, o teorema de Norton simplifica os cálculos, pois como vimos, a rede pode ser substituída por um circuito menor e mais gerenciável.

Desta forma, o teorema de Norton é muito importante ao projetar circuitos com múltiplos elementos, bem como para estudar a resposta deles.

Relação entre os teoremas de Norton e Thevenin

O teorema de Norton é o dual do teorema de Thevenin, o que significa que eles são equivalentes. O teorema de Thevenin indica que a caixa preta na figura 1 pode ser substituída por uma fonte de tensão em série com uma resistência, chamada de resistência de Thevenin Rº. Isso é expresso na seguinte figura:


O circuito à esquerda é o circuito original, a rede linear na caixa preta, o circuito A no canto superior direito é o equivalente de Thevenin, e o circuito B é o equivalente do Norton, conforme descrito. Visto dos terminais aeb, os três circuitos são equivalentes.

Agora observe que:

- No circuito original, a tensão entre os terminais é Vab.

-Vab = Vº no circuito PARA

-Finalmente, Vab = EuN.RN no circuito B

Se os terminais aeb estão em curto-circuito em todos os três circuitos, deve-se garantir que a tensão e a corrente entre esses pontos sejam iguais para todos os três, uma vez que são equivalentes. Então:

-No circuito original a corrente é i.

- Para o circuito A, a corrente é i = Vº / Rº, de acordo com a lei de Ohm.


-Finalmente no circuito B, a corrente é IN

Portanto, conclui-se que as resistências de Norton e Thevenin têm o mesmo valor, e que a corrente é dada por:

i = euN = Vº / Rº = Vº / RN

Exemplo

Para aplicar corretamente o teorema de Norton, as seguintes etapas são seguidas:

- Isole da rede a seção do circuito para a qual o equivalente Norton deve ser encontrado.

-No circuito restante, indique os terminais a e b.

- Substitua as fontes de tensão para curtos-circuitos e as fontes de corrente para os circuitos abertos, para encontrar a resistência equivalente entre os terminais a e b. Este é RN.

-Retorne todas as fontes para suas posições originais, curto-circuite os terminais aeb e encontre a corrente que flui entre eles. Este sou euN.

-Desenhe o circuito equivalente do Norton de acordo com o indicado na figura 1. Tanto a fonte de corrente quanto a resistência equivalente estão em paralelo.

O teorema de Thevenin também pode ser aplicado para encontrar Rº, que já sabemos é igual a RN, então pela lei de Ohm você pode encontrarN e prossiga para desenhar o circuito resultante.

E agora vamos ver um exemplo:

Encontre o Norton equivalente entre os pontos A e B do seguinte circuito:

A parte do circuito cujo equivalente se encontra já está isolada. E os pontos A e B são claramente determinados. O que se segue é fazer um curto-circuito na fonte de 10 V e encontrar a resistência equivalente do circuito obtido:

Vistas dos terminais A e B, ambos os resistores R1 e R2 estão em paralelo, portanto:

1 / Req = 1 / R12 = (1/4) + (1/6) Ω-1 = 5/12 Ω-1 → Req = 12/5 Ω = 2.4 Ω

Em seguida, a fonte é devolvida ao seu lugar e os pontos A e B são curto-circuitados para encontrar a corrente que circula ali, esta será IN. Em tal caso:

EuN = 10 V / 4 Ω = 2,5 A

Equivalente de Norton

Finalmente, o equivalente Norton é desenhado com os valores encontrados:

Exercício resolvido

No circuito da seguinte figura:

a) Encontre o circuito Norton equivalente da rede externa ao resistor azul.

b) Encontre também o equivalente Thévenin.

Solução para

Seguindo as etapas indicadas acima, a fonte deve ser curto-circuitada:

Cálculo de RN

Vista dos terminais A e B, resistor R3 está em série com o paralelo formado pelos resistores R1 e R2, vamos primeiro calcular a resistência equivalente deste paralelo:

1 / R12 = (1/6)+ (1/3) Ω-1 = 1/2 Ω-1 → Req = 2/1 Ω = 2Ω

E então esse paralelo está em série com R3, de modo que a resistência equivalente é:

Req = 2 Ω + 4 Ω = 6 Ω

Este é o valor de ambos RN a partir de Rº, conforme explicado antes.

Cálculo IN

Os terminais A e B são então curto-circuitados, retornando a fonte ao seu lugar:

A corrente através de I3 é o atual euN procurado, que pode ser determinado usando o método da malha ou usando séries e paralelas. Neste circuito R2 e R3 estão em paralelo:

1 / R23 = (1/3)+ (1/4) Ω-1 = 7/12 Ω-1 → R23 = 12/7 Ω

A resistência R1 está em série com este paralelo, então:

R123 = 6 + (12/7) Ω = 54/7 Ω

A corrente que sai da fonte (cor azul) é calculada usando a lei de Ohm:

V = I. R → I = V / R = 18 V / (54/7 Ω) = 7/3 A

Essa corrente é dividida em duas partes: uma que passa por R2 e outro que cruza R3. No entanto, a corrente através do R paralelo23 é o mesmo que passa por R1, como visto no circuito intermediário na figura. A tensão lá é:

V23 = I.R23 = (7/3) A. (12/7) Ω = 4 V

Ambos os resistores R2 e R3 estão nessa tensão, uma vez que estão em paralelo, portanto:

Eu3 = V23 / R3 = 4 V / 4 Ω = 1 A

Já temos a corrente Norton pesquisada, pois como disse anteriormente eu3 = EuN, tão:

EuN = 1 A

Equivalente Norton

Tudo está pronto para desenhar o equivalente Norton deste circuito entre os pontos A e B:

Solução b

Encontrar o equivalente Thévenin é muito simples, pois Rº = RN= 6 Ω e conforme explicado nas seções anteriores:

Vº = EuN. RN = 1 A. 6 Ω = 6 V

O circuito equivalente Thévenin é:

Referências

  1. Alexander, C. 2006. Fundamentals of Electrical Circuits. 3º Edição. Mc Graw Hill.
  2. Boylestad, R. 2011. Introdução à Análise de Circuito. 2ª Edição. Pearson.
  3. Dorf, R. 2006. Introdução aos circuitos elétricos. 7º. Edição. John Wiley & Sons.
  4. Edminister, J. 1996. Electrical Circuits. Schaum series. 3º Edição. Mc Graw Hill.
  5. Wikipedia. Teorema de Norton. Recuperado de: es.wikipedia.org.