Teorema de Chebyshov: o que é, aplicações e exemplos - Ciência - 2023

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Teorema de Chebyshov: o que é, aplicações e exemplos - Ciência
Teorema de Chebyshov: o que é, aplicações e exemplos - Ciência

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o Teorema de Chebyshov (ou a desigualdade de Chebyshov) é um dos resultados clássicos mais importantes da teoria da probabilidade. Permite estimar a probabilidade de um evento descrito em termos de uma variável aleatória X, fornecendo-nos um limite que não depende da distribuição da variável aleatória, mas da variância de X.

O teorema deve o seu nome ao matemático russo Pafnuty Chebyshov (também escrito como Chebychev ou Tchebycheff) que, apesar de não ser o primeiro a apresentar o teorema, foi o primeiro a dar uma prova em 1867.

Essa desigualdade, ou aquelas que devido às suas características são chamadas de desigualdade de Chebyshov, é usada principalmente para aproximar probabilidades por meio do cálculo de alturas.

Em que consiste?

No estudo da teoria da probabilidade acontece que se a função de distribuição de uma variável aleatória X for conhecida, seu valor esperado - ou expectativa matemática E (X) - e sua variância Var (X) podem ser calculados, desde que tais quantias existem. No entanto, o inverso não é necessariamente verdadeiro.


Ou seja, conhecendo E (X) e Var (X) não é necessariamente possível obter a função de distribuição de X, portanto, quantidades como P (| X |> k) para algum k> 0 são muito difíceis de obter. Mas, graças à desigualdade de Chebyshov, é possível estimar a probabilidade da variável aleatória.

O teorema de Chebyshov nos diz que se tivermos uma variável aleatória X em um espaço amostral S com uma função de probabilidade p, e se k> 0, então:

Aplicações e exemplos

Entre as muitas aplicações do teorema de Chebyshov, pode-se citar o seguinte:

Limitando probabilidades

Esta é a aplicação mais comum e é usada para dar um limite superior para P (| XE (X) | ≥k) onde k> 0, apenas com a variância e a expectativa da variável aleatória X, sem conhecer a função de probabilidade .


Exemplo 1

Suponha que o número de produtos fabricados em uma empresa durante uma semana seja uma variável aleatória com uma média de 50.

Se a variância de uma semana de produção é conhecida como sendo igual a 25, o que podemos dizer sobre a probabilidade de que esta semana a produção seja diferente em mais de 10 da média?

Solução

Aplicando a desigualdade de Chebyshov, temos:

A partir disso podemos obter que a probabilidade de que na semana de produção o número de artigos exceda a média em mais de 10 é no máximo 1/4.

Teoremas de prova de limite

A desigualdade de Chebyshov desempenha um papel importante em provar os teoremas de limite mais importantes. Como exemplo, temos o seguinte:

Lei fraca de grandes números

Esta lei estabelece que dada uma sequência X1, X2, ..., Xn, ... de variáveis ​​aleatórias independentes com a mesma distribuição média E (Xi) = µ e variância Var (X) = σ2, e uma amostra média conhecida de:


Então, para k> 0, temos:

Ou equivalente:

Demonstração

Vamos primeiro observar o seguinte:

Uma vez que X1, X2, ..., Xn são independentes, segue-se que:


Portanto, é possível afirmar o seguinte:

Então, usando o teorema de Chebyshov, temos:

Finalmente, o teorema resulta do fato de que o limite à direita é zero quando n se aproxima do infinito.

Deve-se notar que este teste foi feito apenas para o caso em que existe a variância de Xi; ou seja, não diverge. Assim, observamos que o teorema é sempre verdadeiro se E (Xi) existe.

Teorema do limite de Chebyshov

Se X1, X2, ..., Xn, ... é uma sequência de variáveis ​​aleatórias independentes de modo que exista algum C <infinito, tal que Var (Xn) ≤ C para todo n natural, então para qualquer k> 0:


Demonstração

Como a sequência de variâncias é uniformemente limitada, temos que Var (Sn) ≤ C / n, para todo n natural. Mas sabemos que:

Fazendo n tender para o infinito, os seguintes resultados:

Como a probabilidade não pode exceder o valor de 1, o resultado desejado é obtido. Como conseqüência desse teorema, podemos citar o caso particular de Bernoulli.


Se um experimento é repetido n vezes de forma independente com dois resultados possíveis (falha e sucesso), onde p é a probabilidade de sucesso em cada experimento e X é a variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos, então para cada k> 0 se tem que:


Tamanho da amostra

Em termos de variância, a desigualdade de Chebyshov nos permite encontrar um tamanho de amostra n que seja suficiente para garantir que a probabilidade de que | Sn-μ |> = k ocorra seja tão pequena quanto desejado, o que permite uma aproximação para a média.

Precisamente, sejam X1, X2,… Xn uma amostra de variáveis ​​aleatórias independentes de tamanho n e suponha que E (Xi) = μ e sua variância σ2. Então, pela desigualdade de Chebyshov, temos:


Exemplo

Suponha que X1, X2,… Xn sejam uma amostra de variáveis ​​aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli, de forma que elas tomem o valor 1 com probabilidade p = 0,5.

Qual deve ser o tamanho da amostra para poder garantir que a probabilidade de que a diferença entre a média aritmética Sn e seu valor esperado (excedendo em mais de 0,1) seja menor ou igual a 0,01?

Solução

Temos que E (X) = μ = p = 0,5 e que Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Pela desigualdade de Chebyshov, para qualquer k> 0 temos:


Agora, tomando k = 0,1 e δ = 0,01, temos:


Desta forma, conclui-se que é necessário um tamanho de amostra de pelo menos 2500 para garantir que a probabilidade do evento | Sn - 0,5 |> = 0,1 seja menor que 0,01.

Desigualdades do tipo Chebyshov

Existem várias desigualdades relacionadas à desigualdade de Chebyshov. Uma das mais conhecidas é a desigualdade de Markov:

Nesta expressão, X é uma variável aleatória não negativa com k, r> 0.

A desigualdade de Markov pode assumir diferentes formas. Por exemplo, seja Y uma variável aleatória não negativa (então P (Y> = 0) = 1) e suponha que E (Y) = µ exista. Suponha também que (E (Y))r=μr existe para algum inteiro r> 1. Então:


Outra desigualdade é gaussiana, que nos diz que dada uma variável aleatória unimodal X com modo em zero, então para k> 0,

Referências

  1. Kai Lai Chung. Teoria de Proabilidade Elementar com Processos Estocásticos. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications. S.A. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Probabilidade e aplicações estatísticas. S.A. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Solved Problems of Discrete Mathematics. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria e problemas de probabilidade. McGRAW-HILL.