Experiência aleatória: conceito, espaço amostral, exemplos - Ciência - 2023

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Fala-se de experimento aleatório quando o resultado de cada tentativa particular é imprevisível, mesmo que a probabilidade de ocorrência de um resultado particular possa ser estabelecida.

Porém, deve-se esclarecer que não é possível reproduzir o mesmo resultado de um sistema aleatório com os mesmos parâmetros e condições iniciais em cada tentativa do experimento.

Um bom exemplo de experimento aleatório é o lançamento de um dado. Mesmo que se tome cuidado para lançar o dado da mesma maneira, cada tentativa produzirá um resultado imprevisível. Na verdade, a única coisa que se pode dizer é que o resultado pode ser um dos seguintes: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

O lançamento de uma moeda é outro exemplo de experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis: cara ou coroa. Embora a moeda seja lançada da mesma altura e da mesma forma, o fator de chance estará sempre presente, resultando em incerteza a cada nova tentativa.

O oposto de um experimento aleatório é um experimento determinístico. Por exemplo, sabe-se que toda vez que a água é fervida ao nível do mar a temperatura de ebulição é de 100 ° C. Mas nunca acontece que, mantendo as mesmas condições, o resultado às vezes seja 90 ºC, outras 12 0 ºC e às vezes 100 ºC.

Espaço amostral

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado espaço amostral. No experimento aleatório de lançar um dado, o espaço de amostra é:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Por outro lado, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é:

M = {cara, coroa}.

Evento ou ocorrência

Em um experimento aleatório, um evento é a ocorrência ou não de um determinado resultado. Por exemplo, no caso de um lançamento de moeda, um evento ou ocorrência é que dá cara.

Outro evento em um experimento aleatório pode ser o seguinte: um número menor ou igual a três é lançado em um dado.

Caso o evento ocorra, então o conjunto de resultados possíveis é o conjunto:

E = {1, 2, 3}

Por sua vez, este é um subconjunto do espaço de amostra ou conjunto:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos

Abaixo estão alguns exemplos que ilustram o acima:

Exemplo 1

Suponha que duas moedas sejam lançadas, uma após a outra. Ele pergunta:

a) Indique se é uma experiência aleatória ou, pelo contrário, uma experiência determinística.

b) Qual é o espaço amostral S deste experimento?

c) Indique o conjunto do evento A, correspondendo ao resultado do experimento ser cara e coroa.

d) Calcule a probabilidade de que o evento A ocorra.

e) Finalmente, encontre a probabilidade de que o evento B ocorra: nenhuma cara aparece no resultado.

Solução

a) Este é um experimento aleatório porque não há como prever qual será o resultado do lançamento das duas moedas.

b) O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis:

S = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}

c) O evento A, se ocorrer, pode ter os seguintes resultados:

A = {(c, s), (s, c)}

d) A probabilidade de que o evento A ocorra é obtida dividindo o número de elementos do conjunto A pelo número de elementos do conjunto S correspondentes ao espaço amostral:

P (A) = 2/4 = ½ = 0,5 = 50%

e) O conjunto de resultados possíveis correspondentes ao evento B (não aparecendo cabeças no resultado) é:

B = {(s, s)}

Portanto, a probabilidade de que o evento B ocorra em uma tentativa é o quociente entre o número de resultados possíveis de B e o número total de casos:

P (B) = ¼ = 0,25 = 25%.

Exemplo 2

Uma bolsa contém 10 bolinhas brancas e 10 bolinhas pretas. Três bolas de gude são tiradas consecutivamente do saco de forma aleatória e sem olhar para dentro.

a) Determine o espaço amostral para este experimento aleatório.

b) Determine o conjunto de resultados correspondente ao evento A, que consiste em obter duas bolinhas pretas após o experimento.

c) O evento B é obter pelo menos duas bolinhas pretas, determine o conjunto B de resultados para este evento.

d) Qual é a probabilidade de que o evento A ocorra?

e) Encontre a probabilidade de que o evento B ocorra.

f) Determine a probabilidade de que o resultado do experimento aleatório seja que você tenha pelo menos uma bolinha preta. Este evento será denominado C.

Solução para

Para construir o espaço amostral, é útil fazer um diagrama em árvore, como o mostrado na Figura 3:

O conjunto Ω de resultados possíveis da extração de três bolinhas de uma bolsa com o mesmo número de bolinhas pretas e brancas é precisamente o espaço amostral deste experimento aleatório.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)}

Solução b

O conjunto de resultados possíveis correspondentes ao evento A, que consiste em ter duas bolinhas pretas, é:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

Solução c

O Evento B é definido como: “ter pelo menos duas bolinhas pretas após ter sorteado três delas aleatoriamente”. O conjunto de resultados possíveis para o evento B é:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Solução d

A probabilidade de haver o evento A é o quociente entre o número de resultados possíveis para esse evento e o número total de resultados possíveis, ou seja, o número de elementos no espaço amostral.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Portanto, há uma probabilidade de 37,5% de ter duas bolinhas pretas depois de retirar três bolinhas do saco aleatoriamente. Mas observe que não podemos de forma alguma prever o resultado exato do experimento.

Solução e

A probabilidade de que o evento B ocorra, consistindo em obter pelo menos uma bolinha preta é:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

Isso significa que a possibilidade de que o evento B ocorra é igual à probabilidade de que ele não ocorra.

Solução f

A probabilidade de obter pelo menos uma bola de gude preta, após o sorteio de três delas, é igual a 1 menos a probabilidade de que o resultado seja “as três bolas brancas”.

P (C) = 1 - P (b b b) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Agora, podemos verificar este resultado, observando que o número de possibilidades que o evento C ocorre é igual ao número de elementos dos resultados possíveis para o evento C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)}

n (C) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Referências

CanalPhi. Experiência aleatória. Recuperado de: youtube.com.
MateMovil. Experiência aleatória. Recuperado de: youtube.com
Pishro Nick H. Introdução à probabilidade. Recuperado de: probabilidadecourse.com
Ross. Probabilidade e estatísticas para engenheiros. Mc-Graw Hill.
Wikipedia. Experiência (teoria da probabilidade). Recuperado de: en.wikipedia.com
Wikipedia. Evento determinístico. Recuperado de: es. wikipedia.com
Wikipedia. Experiência aleatória. Recuperado de: es.wikipedia.com