Inclinação de uma linha: fórmula e equações, representação, exemplos - Ciência - 2023

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o inclinação de uma linha é a tangente do ângulo θ que a referida linha forma com o eixo horizontal, que por convenção é medido no sentido anti-horário. A inclinação de qualquer linha é sempre constante e por isso é uma de suas características mais essenciais.

Para calculá-lo, você precisa saber dois pontos na linha, cujas coordenadas são (x1, Y1) e (x2, Y2) Entre os dois pontos é desenhado um segmento que pertence à linha e então os segmentos que representam a distância entre x são desenhados1 e x2, e entre e1 e e2, conforme figura abaixo.

Os três segmentos formam um triângulo retângulo cujas pernas são: Δx = x2 - x1 y Δy = y2 - Y1. Eles correspondem respectivamente a um deslocamento horizontal e um deslocamento vertical.


Agora definimos um quociente, chamado de tangente do ângulo θ e abreviado tg θ, que é precisamente a inclinação m da reta:

m = tg θ = Δy / Δx

Observe que, para uma reta, esse ângulo permanece constante, independentemente dos pontos tomados para calcular sua tangente. Em qualquer caso, este valor nos dá uma medida de quão íngreme é a linha.

Através das coordenadas dos pontos selecionados, a fórmula para a inclinação é:

m = (y - y1 ) / (x2 - x1)

Representação gráfica

Abaixo, temos várias situações em que o conceito de inclinação é relevante. Seu valor pode ser facilmente calculado medindo-se o respectivo deslocamento vertical e horizontal, e então fazendo o quociente indicado no início.

Isso nos dá uma ideia do desnível ou declínio de alguma estrutura, como uma rampa, um telhado ou uma estrada:

A inclinação da rampa mostrada na figura 2 à esquerda é m = 1/12, a do telhado é m = 1/3 e a da estrada é expressa em porcentagem. Uma porcentagem de 10% significa que para cada 100 metros que avançam horizontalmente, ganham-se 10 metros de altura:


Nesse caso, a inclinação é 10/100 = 0,1, que, expressa como uma porcentagem, é igual a 10%.

Tipos de inclinação

A inclinação de uma linha pode ser positiva, negativa ou zero. Por exemplo, a linha mostrada na figura 1 tem uma inclinação positiva. Agradecemos imediatamente porque vemos que a linha "sobe" se olharmos da esquerda para a direita.

Se a linha desce da esquerda para a direita, então sua inclinação é negativa. E quando uma linha é horizontal, sua inclinação é zero.

Finalmente, para linhas verticais, a inclinação é indefinida.

A representação gráfica de cada tipo está abaixo:

Como a inclinação de uma linha é calculada?

Calcular a inclinação é muito simples, basta encontrar o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal, e depois fazer o quociente entre eles.


Quando temos o desenho da linha no plano cartesiano, esses deslocamentos são encontrados escolhendo quaisquer dois pontos na linha P1 E P2, determinando suas coordenadas e aplicando a definição dada no início:

m = (y - y1 ) / (x2 - x1 )

Uma vez que o valor da inclinação é independente da escolha de P1 E P2 , vamos escolher um ponto P qualquer das coordenadas (x, y) que pertença à reta, cujas coordenadas não são conhecidas, e outro ponto P1 cujas coordenadas são: (x1, Y1).

A inclinação é:

m = (y - y1) / (x - x1)

Podemos limpar o Y:

e e1 = m (x - x1)

Agora suponha que o ponto P1 é a interseção da linha com o eixo vertical, de coordenadas (0, b). Substituindo isso na equação acima:

y - b = m (x - 0) → y = mx + b

Esta expressão é conhecida como a equação da reta no formulário inclinação - interceptar, uma vez que a linha é inequivocamente determinada quando sua inclinação e sua intersecção com o eixo vertical são conhecidas.

Saber apenas a inclinação não é suficiente para caracterizar uma reta no plano, uma vez que infinitas retas poderiam ter a mesma inclinação, o que significa que são paralelas, mas passam por outros pontos.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Encontre a inclinação da linha mostrada na figura a seguir:

Solução

P1 E P2 São dois pontos de fácil leitura que serão utilizados para o cálculo, note também que são as respectivas intersecções com os eixos das coordenadas.

As coordenadas de cada ponto são:

P1 (4.0) e P2 (0,4)

Substituindo a inclinação na equação:

m = (4 - 0) / (0 - 4) = 4 / (- 4) = -1

A inclinação é negativa, o que era de se esperar depois de olhar o gráfico.

- Exercício 2

Encontre a equação da linha que passa pelo ponto (1, -6) e é paralela à linha y = 2x - 3.

Solução

A inclinação da reta procurada deve ser igual a y = 2x - 3, uma vez que são paralelas. Para esta reta, a inclinação é m = 2, portanto, aquela que estamos procurando tem a forma:

e e1 = 2 (x - x1)

Agora substituímos o ponto através do qual nossa linha passa: x1 = 1 e y1 = -6.

y - (-6) = 2 (x - 1)

Portanto, y = 2x - 2 - 6 → y = 2x - 8

Exemplos

Duas grandezas podem ser relacionadas de forma que seu gráfico seja uma linha reta. Nesse caso, diz-se que as quantidades têm dependência linear e a inclinação da linha pode ser interpretada como a taxa de variação de uma variável para a outra.

Exemplo 1

Suponha que uma piscina esteja cheia de água em um taxa constante no tempo. Naturalmente, quanto mais o tempo passa, mais água é armazenada. Bem, a taxa na qual a piscina se enche é precisamente a inclinação da linha que relaciona o volume ao tempo:

Neste exemplo, a piscina está enchendo a uma taxa de 6/3 galões por minuto ou 2 galões / minuto.

Exemplo 2

Quando um móvel se move em linha reta com velocidade constante, a inclinação do gráfico de posição em função do tempo não é outra senão a referida velocidade. O gráfico mostra um móbile com velocidade positiva, o que significa que está se afastando da origem.

Referências

  1. Alvarez, J. A inclinação de uma rodovia. Recuperado de: geogebra.es.
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  4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
  5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
  6. Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.