Eventos independentes: demonstração, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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Dois eventos são independentes, quando a probabilidade de que um deles ocorra não seja influenciada pelo fato de o outro ocorrer -ou não ocorra-, considerando que esses eventos ocorrem de forma aleatória.

Essa circunstância ocorre sempre que o processo que gera o resultado do evento 1 não altera de forma alguma a probabilidade dos resultados possíveis do evento 2. Mas se isso não acontecer, os eventos são ditos dependentes.

Uma situação de evento independente é a seguinte: Suponha que dois dados de seis lados sejam lançados, um azul e outro rosa. A probabilidade de um 1 rolar no dado azul é independente da probabilidade de um 1 rolar - ou não - no dado rosa.

Outro caso de dois eventos independentes é o de jogar uma moeda duas vezes seguidas. O resultado do primeiro lance não dependerá do resultado do segundo e vice-versa.

Prova de dois eventos independentes

Para verificar se dois eventos são independentes, definiremos o conceito de probabilidade condicional de um evento em relação a outro. Para isso, é necessário diferenciar entre eventos exclusivos e eventos inclusivos:

Dois eventos são exclusivos se os valores ou elementos possíveis do evento A não tiverem nada em comum com os valores ou elementos do evento B.

Portanto, em dois eventos exclusivos, o conjunto da interseção de A com B é o vácuo:

Excluindo eventos: A∩B = Ø

Pelo contrário, se os eventos são inclusivos, pode acontecer que um resultado do evento A também coincida com o de outro B, sendo A e B eventos diferentes. Neste caso:

Eventos inclusivos: A∩B ≠ Ø

Isso nos leva a definir a probabilidade condicional de dois eventos inclusivos, ou seja, a probabilidade de ocorrência do evento A, sempre que o evento B ocorrer:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Portanto, a probabilidade condicional é a probabilidade de que A e B ocorrerão dividida pela probabilidade de ocorrer B. A probabilidade de que B ocorrerá condicional a A também pode ser definida:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Critérios para saber se dois eventos são independentes

A seguir, forneceremos três critérios para saber se dois eventos são independentes. Basta que um dos três seja cumprido, para que se demonstre a independência dos acontecimentos.

1.- Se a probabilidade de que A ocorra sempre que B ocorrer for igual à probabilidade de A, então são eventos independentes:

P (A¦B) = P (A) => A é independente de B

2.- Se a probabilidade de que B ocorre dado A é igual à probabilidade de B, então existem eventos independentes:

P (B¦A) = P (B) => B é independente de A

3.- Se a probabilidade de que A e B ocorram é igual ao produto da probabilidade de A ocorrer pela probabilidade de B ocorrer, então são eventos independentes. O inverso também é verdadeiro.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A e B são eventos independentes.

Exemplos de eventos independentes

As solas de borracha produzidas por dois fornecedores diferentes são comparadas. As amostras de cada fabricante são submetidas a diversos testes dos quais se conclui se estão ou não dentro das especificações.

O resumo resultante das 252 amostras é o seguinte:

Fabricante 1; 160 atendem às especificações; 8 não atendem às especificações.

Fabricante 2; 80 atendem às especificações; 4 não atendem às especificações.

Evento A: "que a amostra é do fabricante 1".

Evento B: "que a amostra atende às especificações."

Queremos saber se esses eventos A e B são independentes ou não, para os quais aplicamos um dos três critérios mencionados na seção anterior.

Critério: P (B¦A) = P (B) => B é independente de A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Conclusão: os eventos A e B são independentes.

Suponha que o evento C: "que a amostra vem do fabricante 2"

O evento B será independente do evento C?

Nós aplicamos um dos critérios.

Critério: P (B¦C) = P (B) => B é independente de C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Portanto, com base nos dados disponíveis, a probabilidade de que uma sola de borracha escolhida aleatoriamente atenda às especificações é independente do fabricante.

Converta um evento independente em um dependente

Vejamos o exemplo a seguir para distinguir entre eventos dependentes e independente.

Temos uma bolsa com duas bolas de chocolate branco e duas bolas pretas. A probabilidade de obter uma bola branca ou uma bola preta é igual na primeira tentativa.

Suponha que o resultado seja uma bola branca. Se a bola retirada é recolocada no saco, a situação original se repete: duas bolas brancas e duas pretas.

Portanto, em um segundo evento ou empate, as chances de tirar uma bola branca ou preta são idênticas às da primeira vez. Eles são, portanto, eventos independentes.

Mas se a bola branca sacada no primeiro evento não for substituída porque a comemos, no segundo sorteio há maiores chances de tirar uma bola preta. A probabilidade de que em uma segunda extração o branco seja obtido novamente é diferente daquela do primeiro evento e é condicionada pelo resultado anterior.

Exercícios

- Exercício 1

Em uma caixa colocamos as 10 bolas de gude da figura 1, das quais 2 são verdes, 4 são azuis e 4 são brancas. Duas bolas de gude serão escolhidas aleatoriamente, uma primeiro e outra depois. É pedido para encontrar o
probabilidade de que nenhum deles seja azul, nas seguintes condições:

a) Com substituição, ou seja, devolvendo a primeira bola de gude antes da segunda seleção para a caixa. Indique se são eventos independentes ou dependentes.

b) Sem reposição, de forma que a primeira bola de gude extraída fique fora da caixa no momento da segunda seleção. Da mesma forma, indique se são eventos dependentes ou independentes.

Solução para

Calculamos a probabilidade de que a primeira bola de gude extraída não seja azul, que é 1 menos a probabilidade de que seja azul P (A), ou diretamente de que não seja azul, porque saiu verde ou branco:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (não seja azul) = 1 - (2/5) = 3/5

O bem:

P (verde ou branco) = 6/10 = 3/5.

Se o mármore extraído for devolvido, tudo estará como antes. Neste segundo desenho, há também uma probabilidade de 3/5 de que a bola de gude desenhada não seja azul.

P (nem azul, nem azul) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Os eventos são independentes, uma vez que a bolinha extraída foi devolvida à caixa e o primeiro evento não influencia na probabilidade de ocorrência do segundo.

Solução b

Para a primeira extração, proceda como na seção anterior. A probabilidade de que não seja azul é de 3/5.

Para a segunda extração temos 9 bolinhas na bolsa, já que a primeira não voltou, mas não era azul, pois na bolsa estão 9 bolinhas e 5 não azuis:

P (verde ou branco) = 5/9.

P (nenhum é azul) = P (primeiro não é azul). P (segundo não azul / primeiro não azul) = (3/5). (5/9) = 1/3

Nesse caso, não são eventos independentes, pois o primeiro evento condiciona o segundo.

- Exercício 2

Uma loja possui 15 camisetas em três tamanhos: 3 pequenas, 6 médias e 6 grandes. 2 camisas são selecionadas aleatoriamente.

a) Qual é a probabilidade de ambas as camisas selecionadas serem pequenas, se uma for tirada primeiro e sem substituir a outra no lote?

b) Qual é a probabilidade de as duas camisas selecionadas serem pequenas, se uma for sorteada primeiro, ser substituída no lote e a segunda retirada?

Solução para

Aqui estão dois eventos:

Evento A: a primeira camisa selecionada é pequena

Evento B: a segunda camisa selecionada é pequena

A probabilidade de que o evento A ocorra é: P (A) = 3/15

A probabilidade de que o evento B ocorra é: P (B) = 2/14, porque uma camisa já foi retirada (restam 14), mas também quer que o evento A seja preenchido, a primeira camisa retirada deve ser pequena e portanto ambos são 2 pequenos.

Ou seja, a probabilidade de que A e B sejam o produto das probabilidades é:

P (A e B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Portanto, a probabilidade de que os eventos A e B ocorram é igual ao produto de que o evento A ocorre, vezes a probabilidade de que o evento B ocorra se o evento A.

Deve-se observar que:

P (B¦A) = 2/14

A probabilidade de que o evento B ocorra independentemente de o evento A ocorrer ou não será:

P (B) = (2/14) se o primeiro era pequeno, ou P (B) = 3/14 se o primeiro não era pequeno.

Em geral, pode-se concluir o seguinte:

P (B¦A) não é igual a P (B) => B não é independente de A

Solução b

Novamente, existem dois eventos:

Evento A: a primeira camisa selecionada é pequena

Evento B: a segunda camisa selecionada é pequena

P (A) = 3/15

Lembre-se de que qualquer que seja o resultado, a camisa retirada do lote é substituída e novamente uma camisa é sorteada ao acaso. A probabilidade de que o evento B ocorra, se o evento A ocorrer é:

P (B¦A) = 3/15

A probabilidade de que os eventos A e B ocorram será:

P (A e B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Observe que:

P (B¦A) é igual a P (B) => B é independente de A.

- Exercício 3

Considere dois eventos independentes A e B. Sabe-se que a probabilidade de que o evento A ocorra é 0,2 e a probabilidade de que o evento B ocorra é de 0,3. Qual é a probabilidade de que ambos os eventos ocorram?

Solução 2

Sabendo que os eventos são independentes, sabe-se que a probabilidade de os dois eventos ocorrerem é produto das probabilidades individuais. Quer dizer,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Observe que é uma probabilidade muito menor do que a probabilidade de cada evento ocorrer independentemente do resultado do outro. Ou dito de outra forma, muito menor do que as probabilidades individuais.

Referências

Berenson, M. 1985. Statistics for management and economics. Interamericana S.A. 126-127.
Instituto Monterrey. Probabilidade de eventos independentes. Recuperado de: monterreyinstitute.org
Professor de matemática. Eventos independentes. Recuperado de: youtube.com
Superprof. Tipos de eventos, eventos dependentes. Recuperado de: superprof.es
Tutor virtual. Probabilidade. Recuperado de: vitutor.net
Wikipedia. Independência (probabilidade). Recuperado de: wikipedia.com