Choques elásticos: em uma dimensão, casos especiais, exercícios - Ciência - 2023

Contente

• Conservação de energia cinética
• Choques elásticos em uma dimensão
• -Fórmula para colisões elásticas
• Pela quantidade de movimento
• Para energia cinética
• Simplificação para eliminar os quadrados das velocidades
• Velocidades finais v₁ e V₂ das partículas
• Casos especiais em colisões elásticas
• Duas massas idênticas
• Duas massas idênticas, uma das quais estava inicialmente em repouso
• Duas massas diferentes, uma delas inicialmente em repouso
• Coeficiente de restituição ou regra de Huygens-Newton
• Exercícios resolvidos
• - Resolvido o exercício 1
• Solução
• - Exercício 2 resolvido
• Solução
• Saltos sucessivos
• - Resolvido o exercício 3
• Dados
• - Exercício 4 resolvido
• Solução
• Referências

o choques elásticos ou colisões elásticas consistem em interações curtas, mas intensas entre objetos, nas quais tanto o momento quanto a energia cinética são conservados. Os acidentes são eventos muito frequentes na natureza: de partículas subatômicas a galáxias, a bolas de bilhar e carrinhos de choque em parques de diversões, todos são objetos capazes de colidir.

Durante uma colisão ou colisão, as forças de interação entre os objetos são muito fortes, muito mais do que aquelas que podem agir externamente. Desta forma, pode-se afirmar que, durante a colisão, as partículas formam um sistema isolado.

Neste caso, é verdade que:

P_ou = P_F

A quantidade de movimento P_ou antes da colisão é o mesmo que depois da colisão. Isso é verdadeiro para qualquer tipo de colisão, tanto elástica quanto inelástica.

Agora considere o seguinte: durante uma colisão, os objetos sofrem uma certa deformação. Quando o choque é elástico, os objetos voltam rapidamente à sua forma original.

Conservação de energia cinética

Normalmente, durante uma colisão, parte da energia dos objetos é gasta em calor, deformação, som e às vezes até na produção de luz. Portanto, a energia cinética do sistema após a colisão é menor do que a energia cinética original.

Quando a energia cinética K é conservada, então:

K_ou = K_F

O que significa que as forças que atuam durante a colisão são conservadoras. Durante a colisão, a energia cinética é brevemente transformada em energia potencial e depois de volta em energia cinética. As respectivas energias cinéticas variam, mas a soma permanece constante.

Colisões perfeitamente elásticas são raras, embora as bolas de bilhar sejam uma boa aproximação, assim como as colisões que ocorrem entre moléculas de gás ideais.

Choques elásticos em uma dimensão

Vamos examinar uma colisão de duas partículas deste em uma única dimensão; isto é, as partículas interagentes se movem, digamos, ao longo do eixo x. Suponha que eles tenham massas m₁ Y m₂. As velocidades iniciais de cada um são ou₁ Y ou₂ respectivamente. As velocidades finais são v₁ Y v₂.

Podemos prescindir da notação vetorial, uma vez que o movimento é realizado ao longo do eixo x, entretanto, os sinais (-) e (+) indicam a direção do movimento. À esquerda é negativo e à direita positivo, por convenção.

-Fórmula para colisões elásticas

Pela quantidade de movimento

m₁ou₁ + m₂ou₂ = m₁v₁ + m₂v₂

Para energia cinética

½ m₁ou²₁ + ½ m₂ou²₂ = ½ m₁v²₁ + ½ m₂v²₂

Desde que as massas e as velocidades iniciais sejam conhecidas, as equações podem ser reagrupadas para encontrar as velocidades finais.

O problema é que, em princípio, é necessário fazer um pouco de álgebra tediosa, já que as equações da energia cinética contêm os quadrados das velocidades, o que torna o cálculo um pouco complicado. O ideal seria encontrar expressões que não os contenham.

A primeira é dispensar o fator ½ e reorganizar ambas as equações de forma que um sinal negativo apareça e as massas possam ser fatoradas:

m₁ou₁ - m₁v₁ = m₂v₂ - m₂ou₂

m₁ou²₁ - m₁v²₁ = + m₂v²₂ - m₂ou²₂

Sendo expresso desta forma:

m₁(ou₁ - v₁ ) = m₂(v₂ - ou₂)

m₁(ou²₁ - v²₁ ) = m₂ (v²₂ - ou²₂)

Simplificação para eliminar os quadrados das velocidades

Agora devemos fazer uso da notável soma do produto por sua diferença na segunda equação, com a qual obtemos uma expressão que não contém os quadrados, como originalmente pretendido:

m₁(ou₁ - v₁ ) = m₂(v₂ - ou₂)

m₁(ou₁ - v₁ ) (ou₁ + v₁ ) = m₂ (v₂ - ou₂) (v₂ + você₂)

A próxima etapa é substituir a primeira equação pela segunda:

m₂(v₂ - ou₂) (ou₁ + v₁ ) = m₂ (v₂ - ou₂) (v₂ + você₂)

E quando o termo é repetido m₂(v₂ - ou₂) em ambos os lados da igualdade, o referido termo é cancelado e tem a seguinte aparência:

(ou₁ + v₁) = (v₂ + você₂)

Ou melhor ainda:

ou₁ - ou₂= v₂ - v₁

Velocidades finais v₁ e V₂ das partículas

Agora você tem duas equações lineares que são mais fáceis de trabalhar. Vamos colocá-los de volta um sob o outro:

m₁ou₁ + m₂ou₂ = m₁v₁ + m₂v₂

ou₁ - ou₂= v₂ - v₁

Multiplicando a segunda equação por m₁ e adicionar termo a termo é:

m₁ou₁ + m₂ou₂ = m₁v₁ + m₂v₂

m₁ou₁ - m₁ou₂= m₁v₂ - m₁ v₁

-------–

2 m₁ou₁ + (m₂ - m₁) ou₂ = (m₂ + m₁) v₂

E já é possível limparv₂. Por exemplo:

Casos especiais em colisões elásticas

Agora que as equações estão disponíveis para as velocidades finais de ambas as partículas, é hora de analisar algumas situações especiais.

Duas massas idênticas

Nesse caso m₁ = m₂ = m Y:

v₁ = u₂

v₂ = u₁

As partículas simplesmente trocam suas velocidades após a colisão.

Duas massas idênticas, uma das quais estava inicialmente em repouso

De novom₁ = m₂ = m e assumindo que ou₁ = 0:

v₁ = u₂

v₂ = 0

Após a colisão, a partícula que estava em repouso adquire a mesma velocidade da partícula que estava se movendo, e esta por sua vez para.

Duas massas diferentes, uma delas inicialmente em repouso

Neste caso, suponha que ou₁ = 0, mas as massas são diferentes:

Que passa sim m₁ é muito maior que m₂?

Acontece que m₁ ainda está em repouso e m₂ ele retorna tão rápido quanto bateu.

Coeficiente de restituição ou regra de Huygens-Newton

Anteriormente, a seguinte relação entre as velocidades era derivada para dois objetos em colisão elástica: ou₁ - ou₂ = v₂ - v₁. Essas diferenças são as velocidades relativas antes e depois da colisão. Em geral, para uma colisão, é verdade que:

ou₁ - ou₂ = - (v₁ - v₂)

O conceito de velocidade relativa é mais bem apreciado se o leitor imaginar que está em uma das partículas e, dessa posição, observar a velocidade com que a outra partícula se move. A equação acima foi reescrita assim:

Exercícios resolvidos

- Resolvido o exercício 1

Uma bola de bilhar se move para a esquerda a 30 cm / s, colidindo frontalmente com outra bola idêntica que se move para a direita a 20 cm / s. As duas bolas têm a mesma massa e a colisão é perfeitamente elástica. Encontre a velocidade de cada bola após o impacto.

Solução

ou₁ = -30 cm / s

ou₂ = +20 cm / s

Este é o caso especial onde duas massas idênticas colidem elasticamente em uma dimensão, portanto as velocidades são trocadas.

v₁ = +20 cm / s

v₂ = -30 cm / s

- Exercício 2 resolvido

O coeficiente de restituição de uma bola quicando no solo é igual a 0,82. Se cair do repouso, que fração de sua altura original a bola alcançará depois de quicar uma vez? E depois de 3 rebotes?

Solução

O solo pode ser objeto 1 na equação para o coeficiente de restituição. E fica sempre em repouso, para que:

Com esta velocidade, ele salta:

O sinal + indica que é uma velocidade ascendente. E de acordo com ele, a bola atinge uma altura máxima de:

Agora ele retorna ao solo novamente com uma velocidade de magnitude igual, mas com sinal oposto:

Isso atinge uma altura máxima de:

Volte para o solo com:  

Saltos sucessivos

Cada vez que a bola quica e sobe, multiplique a velocidade novamente por 0,82:

Neste ponto h₃ é cerca de 30% de h_ou. Qual seria a altura para o 6º salto sem ter que fazer cálculos detalhados como os anteriores?

Seria h₆ = 0.82¹² h_ou = 0,092h_ou ou apenas 9% de h_ou.

- Resolvido o exercício 3

Um bloco de 300 g está se movendo para o norte a 50 cm / se colide com um bloco de 200 g indo para o sul a 100 cm / s. Suponha que o choque seja perfeitamente elástico. Encontre as velocidades após o impacto.

Dados

m₁ = 300 g; ou₁ = + 50 cm / s

m₂ = 200 g; ou₂ = -100 cm / s

- Exercício 4 resolvido

Uma massa de m é liberada₁ = 4 kg a partir do ponto indicado na pista sem atrito, até colidir com m₂ = 10 kg em repouso. Quão alto me sobe?₁ após a colisão?

Solução

Como não há atrito, a energia mecânica é conservada para encontrar a velocidade ou₁ com que m₁ impactos m_2. Inicialmente a energia cinética é 0, uma vez que m₁ parte do resto. Quando ele se move sobre a superfície horizontal, ele não tem altura, então a energia potencial é 0.

mgh = ½ mu₁²

ou₂ = 0

Agora, a velocidade de m₁ após a colisão:

O sinal negativo significa que foi devolvido. Com esta velocidade ele aumenta e a energia mecânica é conservada novamente para encontrar h ’, a altura à qual ele consegue subir após a queda:

½ mv₁² = mgh '

Observe que ele não retorna ao ponto inicial a 8 m de altura. Não tem energia suficiente porque a massa deu parte de sua energia cinética m_1.

Referências

1. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6^º. Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9^{n / D} Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Physics for Science and Technology. 5ª Ed. Volume 1. Editorial Reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Physics: Concepts and Applications. 7ª Edição. MacGraw Hill. 185-195