Razões trigonométricas: exemplos, exercícios e aplicações - Ciência - 2023

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As razões trigonométricas são os quocientes ou relações que podem ser feitas com o valor dos lados de um triângulo retângulo. Esses lados são: duas pernas que se formam 90º entre si e a hipotenusa, que forma o ângulo agudo θ com uma das pernas.

Você pode formar 6 quocientes. Seus nomes e respectivas abreviaturas são:

seio (sen)
cosseno (cos)
tangente (tg ou tan)
cotangente (ctg ou cotan)
secante (seg) e
cossecante (cosec)

Todos eles referiram-se ao ângulo θ, conforme mostrado na figura a seguir:

As razões trigonométricas básicas do ângulo θ são sin θ, cos θ e tan θ, enquanto as razões restantes podem ser expressas em termos destes três. Na tabela acima, pode-se ver que:

sec θ = 1 / cos θ
cosec θ = 1 / sin θ
cot θ = 1 / tg θ

O tamanho dos lados do triângulo não influencia o valor das razões, uma vez que dois triângulos cujos ângulos medem os mesmos são triângulos semelhantes e as respectivas razões entre os lados têm o mesmo valor.

Exemplo

Por exemplo, vamos calcular as razões trigonométricas do ângulo θ nos seguintes triângulos:

Para o triângulo pequeno, temos as três razões básicas do ângulo θ:

sin θ = 3/5

cos θ = 4/5

tg θ = ¾

E agora vamos calcular as três razões básicas de θ com o grande triângulo:

sin θ = 30/50 = 3/5

cos θ = 40/50 = 4/5

tg θ = 30/40 = ¾

Um detalhe importante a se levar em consideração é o seguinte: tanto sen θ quanto cos θ são menores que 1, pois as pernas sempre medem menos que a hipotenusa. Em efeito:

sin θ = 3/5 = 0,6

cos θ = 4/5 = 0,8

Exercícios resolvidos

Nos exercícios seguintes, você deve resolver o triângulo retângulo, o que significa encontrar o comprimento de seus três lados e a medida de seus ângulos internos, um dos quais sempre mede 90º.

O teorema de Pitágoras se aplica a triângulos retângulos e é muito útil quando dois dos lados são conhecidos e o lado ausente precisa ser determinado. O teorema é assim:

Hipotenusa² = perna oposta² + perna adjacente²

Podemos verificar o teorema de Pitágoras com o pequeno triângulo da Figura 2, cujas pernas são 3 e 4. A ordem em que as pernas são tiradas não importa. Aplicando o teorema, temos:

Hipotenusa² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Portanto, a hipotenusa é:

Hipotenusa = √25 = 5

- Exercício 1

Calcule as razões trigonométricas dos ângulos mostrados nos seguintes triângulos:

Solução para

Este triângulo é o mesmo que na figura 3, mas nos perguntam as razões trigonométricas do outro ângulo agudo, denotado por α. O enunciado não oferece o valor da hipotenusa, porém, aplicando o teorema de Pitágoras sabemos que vale 5.

As relações podem ser calculadas diretamente a partir da definição, tomando cuidado ao selecionar a perna que está o oposto do ângulo α para calcular o pecado α. Vamos ver:

sin α = 4/5
cos α = 3/5
tg α = 4/3
cot α = ¾
seg α = 1 / (3/5) = 5/3
cosec α = 1 / (4/5) = 5/4

E, como podemos ver, os valores das relações trigonométricas foram trocados. Na verdade, α e θ são ângulos complementares, o que significa que somam 90º. Nesse caso, é verdade que sin α = cos θ e assim por diante pelas outras razões.

Solução b

Vamos calcular a hipotenusa do triângulo usando o teorema de Pitágoras:

Hipotenusa² = 20² + 21² = 841

√841 = 29

Então, as 6 razões trigonométricas do ângulo β são:

sin β = 20/29
cos β = 21/29
tg β = 20/21
cot β = 21/20
seg β = 1 / (21/29) = 29/21
cosec β = 1 / (20/29) = 20/29

- Exercício 2

a) Encontre o valor de x na figura.

b) Calcule o perímetro dos 3 triângulos mostrados.

Solução para

Na figura podemos identificar vários triângulos, em particular o triângulo retângulo da esquerda, que tem uma perna igual a 85 e o ângulo agudo 60º.

Com as informações desse triângulo, podemos calcular o lado b. Não é a medida exigida pela declaração, mas saber seu valor é uma etapa preliminar.

Para determinar isso, a razão apropriada é tg 60º = 85 / b, visto que b é a perna adjacente a 60º e 85 é o oposto desse ângulo. Portanto:

b = 85 / tg 60º = 85 / √3

Uma vez que b é conhecido, usaremos o triângulo retângulo grande e externo, que tem um lado comum com o triângulo anterior: aquele que mede 85. Esta é a perna oposta ao ângulo de 30º.

De Ali:

Perna adjacente a 30º = (85 / √3) + x

Agora podemos propor o seguinte:

85 / [(85 / √3) + x] = tg 30º

O que está entre parênteses acontece para multiplicar o tg 30º:

85 = [(85 / √3) + x]. tg 30º

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

85 = tg 30 °. (85 / √3) + x. tg 30º

Portanto:

x.tg 30º = 85 - tg 30º. (85 / √3) = 85 [1 - tg 30º. (1 / √3)] = 85. (2/3) = 170/3

Substituindo o valor tg 30º = √3 / 3:

x = (170/3) ÷ (√3 / 3) = 98,15

Solução b

Perímetro do pequeno triângulo

Deixe h₁ a hipotenusa desse triângulo, que pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras ou por meio de uma razão trigonométrica, por exemplo, cos 60º:

cos 60 º = 85 / √3 / h₁→ h₁ = (85 / √3) ÷ cos 60º = 98,1

Para encontrar P, o perímetro deste triângulo, simplesmente adicionamos os 3 lados:

P = 85 + (85 / √3) + 98,1 = 232,2

Perímetro do triângulo externo

Deixe h₂para a hipotenusa do triângulo externo:

sen 30º = 85 ÷ h₂

h₂ = 85 ÷ sen 30º = 170

Para este triângulo, o perímetro é:

P = 85 + [(85 / √3) + 98,15] + 170 = 402,22

Perímetro do triângulo não reto

Já conhecemos todos os lados deste triângulo:

P = x + h₁+ h₂ = 98.15 + 98.15 + 170 = 366.3

Aplicações de relações trigonométricas

As relações trigonométricas têm muitas aplicações práticas, por exemplo, alturas podem ser calculadas.

Suponha que uma torre de água esteja a 100 metros de um edifício. Um observador em uma janela nota que o ângulo de elevação da extremidade superior da torre é de 39º, enquanto o ângulo de depressão com que a base da torre é vista é de 25º. Ele pergunta:

a) Qual é a altura da torre?

b) Qual é a altura da janela?

Solução para

Da perna oposta a 39º do triângulo superior, obtemos uma parte da resposta:

h₁/ 325 = tg 39º → h₁ = 325. tg 39º pés = 263,2 pés

De forma semelhante, obtemos o restante da altura da torre, chamada h₂ começando do triângulo inferior:

h₂/ 325 = tg 25º → h₂ = 325. tg 25º pés = 151,6 pés

A altura total da torre é h₁ + h₂= 263,2 + 151,6 pés = 414,7 pés.

Solução b

A janela está precisamente a uma altura h₂ do solo:

h₂ = 151,6 pés.

Referências

Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Universidade Nacional do Litoral.
Hoffman, J. Selection of Mathematics Topics. Volume 3.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.