Cálculo de aproximações usando o diferencial - Ciência - 2023

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Uma aproximação em matemática é um número que não é o valor exato de algo, mas está tão próximo disso que é considerado tão útil quanto aquele valor exato.

Quando as aproximações são feitas em matemática, é porque manualmente é difícil (ou às vezes impossível) saber o valor preciso do que você deseja.

A principal ferramenta ao trabalhar com aproximações é o diferencial de uma função. A diferencial de uma função f, denotada por Δf (x), nada mais é do que a derivada da função f multiplicada pela mudança na variável independente, ou seja, Δf (x) = f ’(x) * Δx.

Às vezes, df e dx são usados em vez de Δf e Δx.

Aproximações usando o diferencial

A fórmula que se aplica para realizar uma aproximação através da diferencial surge precisamente da definição da derivada de uma função como limite.

Esta fórmula é dada por:

f (x) ≈ f (x0) + f ’(x0) * (x-x0) = f (x0) + f’ (x0) * Δx.

Aqui entende-se que Δx = x-x0, portanto x = x0 + Δx. Usando isso, a fórmula pode ser reescrita como

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f ’(x0) * Δx.

Deve-se notar que "x0" não é um valor arbitrário, mas é um valor tal que f (x0) é facilmente conhecido; além disso, "f (x)" é apenas o valor que queremos aproximar.

Existem melhores aproximações?

A resposta é sim. A anterior é a mais simples das aproximações denominadas "aproximação linear".

Para aproximações de melhor qualidade (o erro cometido é menor), são usados polinômios com mais derivados chamados “polinômios de Taylor”, bem como outros métodos numéricos como o método de Newton-Raphson entre outros.

Estratégia

A estratégia a seguir é:

- Escolha uma função f adequada para realizar a aproximação e o valor "x" de forma que f (x) seja o valor a ser aproximado.

- Escolha um valor "x0", próximo de "x", de forma que f (x0) seja fácil de calcular.

- Calcule Δx = x-x0.

- Calcule a derivada da função y f '(x0).

- Substitua os dados na fórmula.

Exercícios de aproximação resolvidos

No que segue há uma série de exercícios onde as aproximações são feitas usando o diferencial.

- Primeiro exercício

Aproximadamente √3.

Solução

Seguindo a estratégia, uma função adequada deve ser escolhida. Nesse caso, pode-se observar que a função a escolher deve ser f (x) = √x e o valor a ser aproximado é f (3) = √3.

Agora devemos escolher um valor "x0" próximo a "3" de forma que f (x0) seja fácil de calcular. Se "x0 = 2" for escolhido, "x0" está próximo de "3", mas f (x0) = f (2) = √2 não é fácil de calcular.

O valor apropriado de "x0" é "4", uma vez que "4" está próximo de "3" e também f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Se "x = 3" e "x0 = 4", então Δx = 3-4 = -1. Agora procedemos ao cálculo da derivada de f. Ou seja, f ’(x) = 1/2 * √x, então f’ (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Substituindo todos os valores na fórmula, você obtém:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Se você usar uma calculadora, obterá √3≈1,73205… Isso mostra que o resultado anterior é uma boa aproximação do valor real.

- Segundo exercício

Aproximadamente √10.

Solução

Como antes, escolhemos como função f (x) = √x e neste caso x = 10.

O valor de x0 que deve ser escolhido desta vez é "x0 = 9". Temos então que Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 e f ’(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Ao avaliar na fórmula obtém-se que

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

Usando uma calculadora obtém-se que √10 ≈ 3,1622776… Aqui também pode ser visto que uma boa aproximação foi obtida antes.

- Terceiro exercício

Aproximado ³√10, onde ³√ denota a raiz cúbica.

Solução

É claro que a função que deve ser usada neste exercício é f (x) = ³√x e o valor de “x” deve ser “10”.

Um valor próximo a "10", de forma que sua raiz cúbica seja conhecida, é "x0 = 8". Então temos Δx = 10-8 = 2 ef (x0) = f (8) = 2. Também temos f '(x) = 1/3 * ³√x² e, consequentemente, f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Substituindo os dados na fórmula obtém-se que:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,1666666….

A calculadora diz que ³√10 ≈ 2,15443469… Portanto, a aproximação encontrada é boa.

- Quarto exercício

Aproximado ln (1.3), onde "ln" denota a função logaritmo natural.

Solução

Primeiro, escolhemos como função f (x) = ln (x) e o valor de "x" é 1,3. Agora, conhecendo um pouco sobre a função logaritmo, podemos saber que ln (1) = 0, e também "1" está próximo de "1,3". Portanto, "x0 = 1" é escolhido e, portanto, Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Por outro lado, f ’(x) = 1 / x, de modo que f’ (1) = 1. Ao avaliar na fórmula dada, temos:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Usando uma calculadora, temos que ln (1,3) ≈ 0,262364 ... Então a aproximação feita é boa.

Referências

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