Diferença de cubos: fórmulas, equações, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

Contente

• Exemplos
• Fatorando uma diferença de cubos
• Exemplo 1
• Exemplo 2
• Exemplo 3
• Exercício resolvido
• Exercício 1
• Solução para
• Solução b
• Exercício 2
• Solução
• Referências

o diferença de cubos é uma expressão algébrica binomial da forma a³ - b³, onde os termos a e b podem ser números reais ou expressões algébricas de vários tipos. Um exemplo de diferença de cubos é: 8 - x³, já que 8 pode ser escrito como 2³.

Geometricamente, podemos pensar em um cubo grande, com lado a, do qual o cubo pequeno com lado b é subtraído, conforme ilustrado na figura 1:

O volume da figura resultante é precisamente uma diferença de cubos:

V = a³ - b³

Para encontrar uma expressão alternativa, observa-se que esta figura pode ser decomposta em três prismas, conforme mostrado a seguir:

Um prisma tem um volume dado pelo produto de suas três dimensões:largura x altura x profundidade. Desta forma, o volume resultante é:

V = a³ - b³ = a².b + b³ + a.b²

O fator b é comum à direita. Além disso, na figura mostrada acima, é particularmente verdade que:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Portanto, pode-se dizer que: b = a - b. Desta forma:

para³ - b³ = b (a² + b² + a.b) = (a-b) (a² + a.b + b²)

Esta forma de expressar a diferença dos cubos provará ser muito útil em muitas aplicações e teria sido obtida da mesma forma, mesmo que o lado do cubo que faltava no canto fosse diferente de b = a / 2.

Observe que o segundo parêntese se parece muito com o produto notável do quadrado da soma, mas o termo cruzado não é multiplicado por 2. O leitor pode desenvolver o lado certo para verificar se ele foi realmente obtidopara³ - b³.

Exemplos

Existem várias diferenças de cubos:

1 - m⁶

para⁶b³ - 8z¹²Y⁶

(1/125) .x⁶ - 27.a⁹

Vamos analisar cada um deles. No primeiro exemplo, o 1 pode ser escrito como 1 = 1³ e o termo m⁶ permanece: (m²)³. Ambos os termos são cubos perfeitos, portanto, sua diferença é:

1 - m⁶ = 1³ - (m²)³

No segundo exemplo, os termos são reescritos:

para⁶b³ = (a²b)³

8z¹²Y⁶ = 2³ (z⁴)³ (Y²)³ = (2z⁴Y²)³

A diferença desses cubos é: (a²b)³ - (2z⁴Y²)³.

Finalmente, a fração (1/125) é (1/5³), x⁶ = (x²)³, 27 = 3³ e e⁹ = (e³)³. Substituindo tudo isso na expressão original, você obtém:

(1/125) .x⁶ - 27 anos⁹ = [(1/5) (x²)]³ - (3a³)³

Fatorando uma diferença de cubos

Fatorar a diferença de cubos simplifica muitas operações algébricas. Para fazer isso, basta usar a fórmula deduzida acima:

Agora, o procedimento para aplicar esta fórmula consiste em três etapas:

- Em primeiro lugar, obtém-se a raiz cúbica de cada um dos termos da diferença.

- Em seguida, são construídos o binômio e o trinômio que aparecem no lado direito da fórmula.

- Por fim, o binômio e o trinômio são substituídos para obter a fatoração final.

Vamos ilustrar o uso dessas etapas com cada um dos exemplos de diferença de cubos propostos acima e assim obter seu equivalente fatorado.

Exemplo 1

Fatore a expressão 1 - m⁶   seguindo as etapas descritas. Começamos reescrevendo a expressão como 1 - m⁶ = 1³ - (m²)³ para extrair as respectivas raízes cúbicas de cada termo:

Em seguida, o binômio e o trinômio são construídos:

a = 1

b = m²

Então:

a - b = 1 - m²

 (para² + a.b + b²) = 1² + 1.m² + (m²)² = 1 + m² + m⁴

 Finalmente, é substituído na fórmula a³ - b³ = (a-b) (a² + a.b + b²):

1 - m⁶ = (1 - m²) (1 + m² + m⁴)

Exemplo 2

Fatorar:

para⁶b³ -8z¹²Y⁶ = (a²b)³ - (2z⁴Y²)³

Uma vez que estes são cubos perfeitos, as raízes do cubo são imediatas: a²be 2z⁴Y², a partir daí, segue-se que:

- Binomial: a²b - 2z⁴Y²

- Trinomial: (a²b)² + a²b. 2z⁴Y² + (para²b + 2z⁴Y²)²

 E agora a fatoração desejada é construída:

para⁶b³ -8z¹²Y⁶ = (a²b - 2z⁴Y²) [(para²b)² + a²b. 2z⁴Y² + (para²b + 2z⁴Y²)²] =

= (a²b - 2z⁴Y²) [para⁴b² + 2a²beleza⁴Y² + (para²b + 2z⁴Y²)²]

Em princípio, o factoring está pronto, mas muitas vezes é necessário simplificar cada termo. Em seguida, o notável produto -quadrado de uma soma- que aparece no final é desenvolvido e, em seguida, termos semelhantes são adicionados. Lembrando que o quadrado de uma soma é:

(x + y)² = x² + 2xy + y²

O produto notável à direita é desenvolvido assim:

(para²b + 2z⁴Y²)² = a⁴b² + 4a²beleza⁴Y² + 4z⁸Y⁴

 Substituindo a expansão obtida na fatoração da diferença de cubos:

para⁶b³ -8z¹²Y⁶ = (a²b - 2z⁴Y²) [para⁴b² + 2a²beleza⁴Y² + a⁴b² + 4a²beleza⁴Y² + 4z⁸Y⁴] =

Finalmente, agrupando como termos e fatorando os coeficientes numéricos, que são todos pares, obtemos:

(para²b - 2z⁴Y²) [2a⁴b² + 6a²beleza⁴Y² + 4z⁸Y⁴] = 2 (a²b - 2z⁴Y²) [para⁴b² + 3a²beleza⁴Y² + 2z⁸Y⁴]

Exemplo 3

Fator (1/125) .x⁶ - 27 anos⁹ é muito mais simples do que o caso anterior. Primeiro, os equivalentes de a e b são identificados:

a = (1/5) x²

b = 3y³

Eles são então substituídos diretamente na fórmula:

(1/125) .x⁶ - 27 anos⁹ = [(1/5) x² - 3 anos³] [(1/25) x⁴ + (3/5) x²Y³ + 9y⁶]

Exercício resolvido

A diferença de cubos tem, como dissemos, uma variedade de aplicações em Álgebra. Vamos ver alguns:

Exercício 1

Resolva as seguintes equações:

a) x⁵ - 125 x² = 0

b) 64 - 729 x³ = 0

Solução para

Primeiro, a equação é fatorada assim:

x² (x³ – 125) = 0

Como 125 é um cubo perfeito, os parênteses são escritos como uma diferença de cubos:

x² . (x³ – 5³) = 0

A primeira solução é x = 0, mas encontraremos mais se fizermos x³ – 5³ = 0, então:

x³ = 5³ → x = 5

Solução b

O lado esquerdo da equação é reescrito como 64 - 729 x³ = 4³ - (9x)³. Portanto:

4³ - (9x)³ = 0

Já que o expoente é o mesmo:

9x = 4 → x = 9/4

Exercício 2

Fatore a expressão:

(x + y)³ - (x - y)³

Solução

Esta expressão é uma diferença de cubos, se na fórmula de fatoração notarmos que:

a = x + y

b = x- y

Em seguida, o binômio é construído primeiro:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

E agora o trinômio:

para² + a.b + b² = (x + y)² + (x + y) (x-y) + (x-y)²

Produtos notáveis ​​são desenvolvidos:

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x + y) (x-y) = x²- Y²

(x- y)² = x² - 2xy + y²

Em seguida, você deve substituir e reduzir os termos semelhantes:

para² + a.b + b² = x² + 2xy + y²+ x²- Y²+ x² - 2xy + y² = 3x² + e²

Resultados de fatoração em:

(x + y)³ - (x - y)³ = 2y. (3x² + e²)

Referências

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Editorial Cultural Venezolana S.A.
2. Fundação CK-12. Soma e diferença de cubos. Recuperado de: ck12.org.
3. Khan Academy. Fatoração de diferenças de cubos. Recuperado de: es.khanacademy.org.
4. Math is Fun Advanced. Diferença de dois cubos. Recuperado de: mathsisfun.com
5. UNAM. Fatorando uma diferença de cubos. Recuperado de: dcb.fi-c.unam.mx.