Triângulo equilateral: características, propriedades, fórmulas, área - Ciência - 2023

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Triângulo equilateral: características, propriedades, fórmulas, área - Ciência
Triângulo equilateral: características, propriedades, fórmulas, área - Ciência

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UMA Triângulo equilátero é um polígono com três lados, onde todos são iguais; ou seja, eles têm a mesma medida. Por essa característica foi dado o nome de equilátero (lados iguais).

Os triângulos são polígonos considerados os mais simples em geometria, porque são formados por três lados, três ângulos e três vértices. No caso do triângulo equilátero, por ter lados iguais, isso implica que seus três ângulos também o serão.

Características dos triângulos equiláteros

- lados iguais

Os triângulos equilaterais são figuras planas e fechadas, compostas por três segmentos de linha. Os triângulos são classificados por suas características, em relação aos seus lados e ângulos; o equilátero foi classificado usando como parâmetro a medida de seus lados, uma vez que são exatamente iguais, ou seja, são congruentes.


O triângulo equilátero é um caso particular do triângulo isósceles porque dois de seus lados são congruentes. Portanto, todos os triângulos equiláteros também são isósceles, mas nem todos os triângulos isósceles serão equiláteros.

Dessa forma, os triângulos equiláteros têm as mesmas propriedades de um triângulo isósceles.

Os triângulos equilaterais também podem ser classificados pela largura de seus ângulos internos como um triângulo agudo equilátero, que tem todos os três lados e três ângulos internos com a mesma medida. Os ângulos serão agudos, ou seja, serão menores que 90ou.

- Componentes

Os triângulos em geral possuem várias linhas e pontos que os compõem. Eles são usados ​​para calcular a área, os lados, os ângulos, a mediana, a bissetriz, a bissetriz e a altura.

  • Mediana: é uma linha que começa do ponto médio de um lado e atinge o vértice oposto. As três medianas se encontram em um ponto denominado centro de gravidade ou centróide.
  • Bisector: é um raio que divide o ângulo dos vértices em dois ângulos de igual medida, por isso é conhecido como eixo de simetria.O triângulo equilátero tem três eixos de simetria. No triângulo equilátero, a bissetriz é desenhada do vértice de um ângulo até seu lado oposto, cortando-o em seu ponto médio. Eles se encontram em um ponto denominado incentivo.
  • A mediadora: é um segmento perpendicular ao lado do triângulo que tem sua origem no meio dele. Existem três mediatices em um triângulo e eles se encontram em um ponto chamado circuncentro.
  • A altura: é a linha que vai do vértice para o lado oposto e também esta linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas que coincidem em um ponto denominado ortocentro.

No gráfico a seguir, vemos um triângulo escaleno onde alguns dos componentes mencionados são detalhados


A bissetriz, mediana e bissetriz são coincidentes

A bissetriz divide o lado de um triângulo em duas partes. Nos triângulos equiláteros esse lado será dividido em duas partes exatamente iguais, ou seja, o triângulo será dividido em dois triângulos retângulos congruentes.

Assim, a bissetriz desenhada a partir de qualquer ângulo de um triângulo equilátero coincide com a mediana e a bissetriz do lado oposto a esse ângulo.

Exemplo:

A figura a seguir mostra o triângulo ABC com um ponto médio D que divide um de seus lados em dois segmentos AD e BD.

Desenhando uma linha do ponto D ao vértice oposto, o CD mediano é obtido por definição, que é relativo ao vértice C e lado AB.


Como o segmento CD divide o triângulo ABC em dois triângulos iguais CDB e CDA, isso significa que o caso de congruência será tido: lado, ângulo, lado e, portanto, CD também será a bissetriz de BCD.

Ao plotar o segmento CD, divida o ângulo do vértice em dois ângulos iguais de 30ou, o ângulo do vértice A ainda mede 60ou e a linha CD forma um ângulo de 90ou com respeito ao ponto médio D.

O segmento CD forma ângulos que têm a mesma medida para os triângulos ADC e BDC, ou seja, são complementares de tal forma que a medida de cada um será:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180ou

2 * Med. (ADC) = 180ou

Med. (ADC) = 180ou ÷ 2

Med. (ADC) = 90ou.

E então, temos que o segmento CD também é a bissetriz do lado AB.

A bissetriz e a altura são coincidentes

Desenhando a bissetriz do vértice de um ângulo até o ponto médio do lado oposto, ele divide o triângulo equilátero em dois triângulos congruentes.

De tal forma que um ângulo de 90 é formadoou (reto). Isso indica que esse segmento de linha é totalmente perpendicular a esse lado e, por definição, essa linha seria a altura.

Assim, a bissetriz de qualquer ângulo de um triângulo equilátero coincide com a altura em relação ao lado oposto desse ângulo.

Ortocentro, baricentro, incentivo e circuncentro coincidente

Como a altura, mediana, bissetriz e bissetriz são representadas pelo mesmo segmento ao mesmo tempo, em um triângulo equilátero os pontos de encontro desses segmentos -o ortocentro, bissetriz, incentivo e circuncentro- serão encontrados no mesmo ponto:

Propriedades

A principal propriedade dos triângulos equiláteros é que eles sempre serão triângulos isósceles, uma vez que os isósceles são formados por dois lados congruentes e equiláteros por três.

Desta forma, os triângulos equiláteros herdaram todas as propriedades do triângulo isósceles:

Ângulos internos

A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180ou, e uma vez que todos os seus ângulos são congruentes, cada um deles medirá 60ou.

Ângulos externos

A soma dos ângulos externos sempre será igual a 360ou, portanto, cada ângulo externo medirá 120ou. Isso porque os ângulos interno e externo são complementares, ou seja, ao adicioná-los serão sempre iguais a 180ou.

Soma dos lados

A soma das medidas dos dois lados deve ser sempre maior que a medida do terceiro lado, ou seja, a + b> c, onde a, b e c são as medidas de cada lado.

Lados congruentes

Os triângulos equilaterais têm todos os três lados com a mesma medida ou comprimento; ou seja, eles são congruentes. Portanto, no item anterior temos que a = b = c.

Ângulos congruentes

Os triângulos equilaterais também são conhecidos como triângulos equiangulares, porque seus três ângulos internos são congruentes entre si. Isso ocorre porque todos os seus lados também têm a mesma medida.

Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é calculado adicionando os lados. Como neste caso o triângulo equilátero tem todos os seus lados com a mesma medida, seu perímetro é calculado com a seguinte fórmula:

P = 3 * lado.

Como calcular a altura?

Como a altura é a linha perpendicular à base, ela a divide em duas partes iguais, estendendo-se até o vértice oposto. Assim, dois triângulos retângulos iguais são formados.

A altura (h) representa a perna oposta (a), o meio do lado AC para a perna adjacente (b) e o lado BC representa a hipotenusa (c).

Usando o teorema de Pitágoras, o valor da altura pode ser determinado:

para2 + b2= c2

Onde:

para2 = altura (h).

b2 = lado b / 2.

c2 = lado a.

Substituindo esses valores no teorema de Pitágoras, e resolvendo a altura, temos:

h2 + ( eu / 2)2 = eu2

h2 + eu2/ 4 = eu2

h2 = eu2  –  eu2/ 4

h2 = (4*eu2 –  eu2) / 4

h2 =  3*eu2/4

√h2 = √ (3*eu2/4)

Se o ângulo formado pelos lados congruentes for conhecido, a altura (representada por uma perna) pode ser calculada aplicando as relações trigonométricas.

As pernas são chamadas de opostas ou adjacentes, dependendo do ângulo tomado como referência.

Por exemplo, na figura anterior, a perna h será oposta para o ângulo C, mas adjacente ao ângulo B:

Assim, a altura pode ser calculada com:

Como calcular os lados?

Há casos em que não se conhecem as medidas dos lados do triângulo, mas sim sua altura e os ângulos formados nos vértices.

Para determinar a área nesses casos, é necessário aplicar as relações trigonométricas.

Conhecendo o ângulo de um de seus vértices, as pernas são identificadas e a razão trigonométrica correspondente é usada:

Assim, a perna AB será oposta ao ângulo C, mas adjacente ao ângulo A. Dependendo do lado ou perna correspondente à altura, o outro lado é desobstruído para obter seu valor, sabendo-se que em um triângulo equilátero os três os lados sempre terão a mesma medida.

Como calcular a área?

A área dos triângulos é sempre calculada com a mesma fórmula, multiplicando a base pela altura e dividindo por dois:

Área = (b * h) ÷ 2

Sabendo que a altura é dada pela fórmula:

Exercícios

- Primeiro exercício

Os lados de um triângulo equilátero ABC têm 20 cm cada. Calcule a altura e a área desse polígono.

Solução

Para determinar a área deste triângulo equilátero, é necessário calcular a altura, sabendo que ao desenhá-lo divide o triângulo em dois triângulos retângulos iguais.

Desta forma, o teorema de Pitágoras pode ser usado para encontrá-lo:

para2 + b2= c2

Onde:

a = 20/2 = 10 cm.

b = altura.

c = 20 cm.

Os dados são substituídos no teorema:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Ou seja, a altura do triângulo é igual a 17,32cm. Agora é possível calcular a área do triângulo dado, substituindo na fórmula:

Área = (b * h) ÷ 2

Área = (20 cm * 17,32 cm) ÷ 2

Área = 346,40 cm2 ÷ 2

Área = 173,20 cm2.

Outra forma mais simples de resolver o exercício é substituir os dados da fórmula direta pela área, onde o valor da altura também é encontrado implicitamente:

- Segundo exercício

As flores serão plantadas em um campo que tem a forma de um triângulo equilátero. Se o perímetro desse terreno for igual a 450 m, calcule a quantidade de metros quadrados que as flores vão ocupar.

Solução

Sabendo que o perímetro de um triângulo corresponde à soma dos seus três lados e como o terreno tem a forma de um triângulo equilátero, os três lados deste terão a mesma medida ou comprimento:

P = lado + lado + lado = 3 * eu

3 * eu = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Agora só é necessário calcular a altura desse triângulo.

A altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes, onde uma perna representa a altura e a outra metade a base. Pelo teorema de Pitágoras, a altura pode ser determinada:

para2 + b2= c2

Onde:

para = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = altura

Os dados são substituídos no teorema:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5.625 m + b2 = 22.500 m

b2 = 22.500 m - 5.625 m

b2 = 16.875 m

b = √16,875 m

b = 129,90 m.

Assim, a área que as flores ocuparão será:

Área = b * h ÷ 2

Área = (150 m * 129,9 m) ÷ 2

Área = (19.485 m2) ÷ 2

Área = 9.742,5 m2

- Terceiro exercício

O triângulo equilátero ABC é dividido por um segmento de reta que vai de seu vértice C até o ponto médio D, localizado no lado oposto (AB). Este segmento mede 62 metros. Calcule a área e o perímetro desse triângulo equilátero.

Solução

Sabendo que o triângulo equilátero é dividido por um segmento de reta que corresponde à altura, formando dois triângulos retos congruentes, este por sua vez também divide o ângulo do vértice C em dois ângulos com a mesma medida, 30ou cada um.

A altura forma um ângulo de 90ou com relação ao segmento AB, e o ângulo do vértice A irá então medir 60ou.

Então, usando o ângulo 30 como referênciaou, a altura CD é estabelecida como a perna adjacente ao ângulo e BC como a hipotenusa.

A partir desses dados, o valor de um dos lados do triângulo pode ser determinado, usando as razões trigonométricas:

Como todos os lados do triângulo equilátero têm exatamente a mesma medida ou comprimento, isso significa que cada lado do triângulo equilátero ABC é igual a 71,6 metros. Sabendo disso, é possível determinar sua área:

Área = b * h ÷ 2

Área = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Área = 4.438,6 m2 ÷ 2

Área = 2.219,3 m2

O perímetro é dado pela soma de seus três lados:

P = lado + lado + lado = 3 * eu

P = 3*eu

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

Referências

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  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
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