Distribuição F: características e exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o distribuição F A distribuição Fisher-Snedecor é aquela usada para comparar as variâncias de duas populações diferentes ou independentes, cada uma das quais segue uma distribuição normal.

A distribuição que segue a variância de um conjunto de amostras de uma única população normal é a distribuição qui-quadrado (Χ²) de grau n-1, se cada uma das amostras do conjunto tiver n elementos.

Para comparar as variâncias de duas populações diferentes, é necessário definir um estatístico, ou seja, uma variável aleatória auxiliar que permite discernir se ambas as populações têm ou não a mesma variância.

A referida variável auxiliar pode ser diretamente o quociente das variâncias amostrais de cada população, caso em que, se o referido quociente for próximo da unidade, há evidências de que ambas as populações apresentam variâncias semelhantes.

A estatística F e sua distribuição teórica

A variável aleatória F ou estatística F proposta por Ronald Fisher (1890 - 1962) é a mais frequentemente usada para comparar as variâncias de duas populações e é definida da seguinte forma:

Sendo s² a variação da amostra e σ² a variância da população. Para distinguir cada um dos dois grupos populacionais, os subscritos 1 e 2 são usados respectivamente.

Sabe-se que a distribuição qui-quadrado com (n-1) graus de liberdade é aquela que segue a variável auxiliar (ou estatística) definida a seguir:

X² = (n-1) s² / σ².

Portanto, a estatística F segue uma distribuição teórica dada pela seguinte fórmula:

Ser OU a distribuição qui-quadrado com d1 = n1 - 1 graus de liberdade para a população 1 e V a distribuição qui-quadrado com d2 = n2 - 1 graus de liberdade para a população 2.

O quociente definido desta forma é uma nova distribuição de probabilidade, conhecida como distribuição F com d1 graus de liberdade no numerador e d2 graus de liberdade no denominador.

Média, modo e variância da distribuição F

Metade

A média da distribuição F é calculada da seguinte forma:

Onde f (x) é a densidade de probabilidade da distribuição F, que é mostrada na Figura 1 para várias combinações de parâmetros ou graus de liberdade.

Você pode escrever a densidade de probabilidade f (x) como uma função da função Γ (função gama):

Uma vez realizada a integral indicada acima, conclui-se que a média da distribuição F com graus de liberdade (d1, d2) é:

μ = d2 / (d2 - 2) com d2> 2

Onde se nota que, curiosamente, a média independe dos graus de liberdade d1 do numerador.

moda

Por outro lado, o modo depende de d1 e d2 e é dado por:

Para d1> 2.

Variância da distribuição F

A variância σ² da distribuição F é calculada a partir do integral:

Obtendo:

Lidando com a distribuição F

Como outras distribuições de probabilidade contínuas que envolvem funções complicadas, o tratamento da distribuição F é feito usando tabelas ou software.

Tabelas de distribuição F

As tabelas envolvem os dois parâmetros ou graus de liberdade da distribuição F, a coluna indica o grau de liberdade do numerador e a linha o grau de liberdade do denominador.

A Figura 2 mostra uma seção da tabela da distribuição F para o caso de um nível de significância de 10%, ou seja, α = 0,1. O valor de F é destacado quando d1 = 3 e d2 = 6 com nível de confiança 1- α = 0,9 que é 90%.

Software para distribuição F

Quanto ao software que lida com a distribuição F existe uma grande variedade, desde planilhas como Excel para pacotes especializados como minitab, SPSS Y R para citar alguns dos mais conhecidos.

Vale ressaltar que o software de geometria e matemática geogebra possui uma ferramenta estatística que inclui as principais distribuições, incluindo a distribuição F. A Figura 3 mostra a distribuição F para o caso d1 = 3 e d2 = 6 com nível de confiança de 90%.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Considere duas amostras de populações que têm a mesma variância populacional. Se a amostra 1 tiver tamanho n1 = 5 e a amostra 2 tiver tamanho n2 = 10, determine a probabilidade teórica de que o quociente de suas respectivas variâncias seja menor ou igual a 2.

Solução

Deve-se lembrar que a estatística F é definida como:

Mas somos informados de que as variâncias da população são iguais, portanto, para este exercício, o seguinte se aplica:

Como queremos saber a probabilidade teórica de que esse quociente de variâncias da amostra seja menor ou igual a 2, precisamos conhecer a área sob a distribuição F entre 0 e 2, que pode ser obtida por meio de tabelas ou software. Para isso, deve-se levar em consideração que a distribuição F exigida tem d1 = n1 - 1 = 5 - 1 = 4 e d2 = n2 - 1 = 10 - 1 = 9, ou seja, a distribuição F com graus de liberdade (4, 9 )

Usando a ferramenta estatística de geogebra Determinou-se que essa área é de 0,82, portanto, conclui-se que a probabilidade do quociente das variâncias da amostra ser menor ou igual a 2 é de 82%.

Exercício 2

Existem dois processos de fabricação para chapas finas. A variabilidade da espessura deve ser a mais baixa possível. 21 amostras são retiradas de cada processo. A amostra do processo A tem um desvio padrão de 1,96 mícrons, enquanto a amostra do processo B tem um desvio padrão de 2,13 mícrons. Qual dos processos tem a menor variabilidade? Use um nível de rejeição de 5%.

Solução

Os dados são os seguintes: Sb = 2,13 com nb = 21; Sa = 1,96 com na = 21. Isso significa que temos que trabalhar com uma distribuição F de (20, 20) graus de liberdade.

A hipótese nula implica que a variância da população de ambos os processos é idêntica, ou seja, σa ^ 2 / σb ^ 2 = 1. A hipótese alternativa implicaria diferentes variâncias da população.

Então, sob a suposição de variâncias populacionais idênticas, a estatística F calculada é definida como: Fc = (Sb / Sa) ^ 2.

Como o nível de rejeição foi considerado α = 0,05, então α / 2 = 0,025

A distribuição F (0,025, 20,20) = 0,406, enquanto F (0,975, 20,20) = 2,46.

Portanto, a hipótese nula será verdadeira se o F calculado corresponder a: 0,406≤Fc≤2,46. Caso contrário, a hipótese nula é rejeitada.

Como Fc = (2,13 / 1,96) ^ 2 = 1,18 conclui-se que a estatística Fc está na faixa de aceitação da hipótese nula com uma certeza de 95%. Em outras palavras, com 95% de certeza, ambos os processos de fabricação têm a mesma variância populacional.

Referências

Teste F de Independência. Recuperado de: saylordotorg.github.io.
Med Wave. Estatísticas aplicadas às ciências da saúde: o teste F. Obtido em: medwave.cl.
Probabilidades e estatísticas. Distribuição F. Recuperado de: probayestadistica.com.
Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11º. Edição. Addison Wesley.
UNAM. Distribuição F. Recuperado de: asesorias.cuautitlan2.unam.mx.
Wikipedia. Distribuição F. Recuperado de: es.wikipedia.com