Números de amigos ou amigos: exemplos e como encontrá-los - Ciência - 2023

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onúmeros amigáveis ou amigáveis São dois números naturais aeb cuja soma dos divisores de um deles (sem incluir o número) é igual ao outro número, e a soma dos divisores deste outro (sem o incluir também) é igual ao primeiro número.

Muitos pares de números foram encontrados que compartilham esta propriedade curiosa. Não são números muito pequenos, os menores são 220 e 284, descobertos há vários séculos. Portanto, vamos colocá-los como um exemplo do que significa essa amizade peculiar entre números.

Os divisores de 220, não incluindo 220, são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Por sua vez, os divisores de 284, não incluindo 284 são: 1, 2, 4, 71 e 142.

Agora adicionamos os divisores do primeiro número, que é 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Observamos que, na prática, a soma é 284, o número amigável.

Em seguida, os divisores de 284 são adicionados:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

E o primeiro membro do casal é obtido.

Os antigos matemáticos gregos da escola pitagórica, fundada por Pitágoras (569-475 aC), autor do famoso teorema do mesmo nome, conseguiram descobrir essa relação peculiar entre esses dois números, à qual atribuíram muitas qualidades místicas.

Eles também eram conhecidos pelos matemáticos islâmicos da Idade Média, que conseguiram determinar uma fórmula geral para encontrar números amigáveis por volta do ano 850 DC.

Fórmula para encontrar números amigáveis

O matemático islâmico Thabit Ibn Qurra (826-901) encontrou uma maneira de gerar alguns números amigáveis. Sean p, o que Y r três números primos, ou seja, números que admitem apenas 1 e a si próprios como divisores.

Quando o seguinte for cumprido:

p = 3,2^n-1– 1

q = 3,2ⁿ– 1

r = 9,2^2n-1– 1

Com n um número maior que 1, então:

a = 2ⁿpq e b = 2ⁿr

Eles formam um par de números amigáveis. Vamos testar a fórmula para n = 2 e ver qual par de números amigáveis ela gera:

p = 3,2^2-1– 1= 3. 2 – 1 = 5

q = 3,2²– 1= 11

r = 9,2^2.2-1– 1= 71

Então:

a = 2ⁿpq = 2². 5. 11 = 220

b = 2ⁿr = 2². 71 = 284

A fórmula do matemático medieval funciona para n = 2, visto que esses são precisamente os primeiros números amigáveis, de que se falava no início e que já eram conhecidos na Idade Média.

No entanto, o teorema não funciona para todos os números amigáveis encontrados até agora, apenas para n = 2, n = 4 e n = 7.

Séculos depois, o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) deduziu uma nova regra para encontrar números amigáveis, com base na de Thabit Ibn Qurra:

p = (2^n-m+ 1). 2^m – 1

q = (2^n-m+ 1). 2ⁿ – 1

r = (2^n-m+ 1)². 2^{m + n} – 1

Como sempre, os números p, q e r são primos, mas agora existem dois expoentes inteiros: m e n, dos quais m deve satisfazer a seguinte condição:

1 ≤ m ≤ n-1

O par de números amigáveis é formado da mesma maneira:

a = 2ⁿpq

b = 2ⁿr

Se m = n-1, o teorema de Thabit é obtido novamente, mas como com o teorema do matemático islâmico, nem todos os números amigáveis satisfazem a regra de Euler. Porém, com isso, aumentou o número de amigos até então conhecidos.

Aqui estão os primeiros pares de expoentes (m, n) com os quais encontrar alguns números amigáveis:

(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) e (29,40)

Posteriormente, na seção de exercícios, encontraremos o par de números amigáveis que se formam graças aos expoentes (3,4) da regra de Euler.

Exemplos de números amigáveis

-220 e 284

-1184 e 1210

-2620 e 2924

-5020 e 5564

-6232 e 6368

-10.744 e 10.856

-12.285 e 14.595

-17.296 e 18.416

Claro, muitos pares de números mais amigáveis podem ser gerados pelo computador.

Como decompor um número e encontrar seus divisores

Vamos ver agora como encontrar os divisores de um número, para verificar se são amigos.De acordo com a definição de números amigáveis, todos os divisores de cada participante são necessários para poder somar, exceto os próprios números.

Agora, os números naturais podem ser divididos em dois grupos: números primos e números compostos.

Os números primos admitem apenas 1 e eles próprios como divisores exatos. E os números compostos, por sua vez, podem sempre ser expressos como o produto dos números primos e ter outros divisores, além de 1 e eles próprios.

Qualquer número composto N, como 220 ou 284, pode ser expresso desta forma:

N = aⁿ . b^m. c^p ... r^k

Onde a, b, c… r são números primos en, m, p… k são expoentes pertencentes aos números naturais, que podem ser de 1 em diante.

Em termos desses expoentes, existe uma fórmula para saber quantos (mas não quais) divisores o número N. Seja C esta quantidade:

C = (n +1) (m + 1) (p +1) ... (k + 1)

Uma vez que o número N é expresso em termos de produtos de números primos e sabemos quantos divisores ele possui, já temos as ferramentas para saber quais são seus divisores, primos e não primos. E é que você precisa conhecê-los todos para verificar se são amigos, exceto o último, que é o próprio número.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Encontre todos os divisores do par de números amigáveis 220 e 284.

Solução

Vamos primeiro encontrar os divisores primos de 220, que é um número composto:

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

A fatoração principal de 220 é:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. 11

Portanto, n = 2, m = 1, p = 1 e tem:

C = (2 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 12 divisores

Os primeiros divisores que são percebidos quando o número é decomposto são: 1, 2, 4, 5 Y 11. E eles também são 110 Y 55.

Estariam faltando 5 deles, que estão fazendo produtos entre os primos e suas combinações: 2².5 = 20; 2².11 = 44; 2. 11 = 22 e finalmente o 1 e o seu 220.

Um procedimento análogo é seguido para 284:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2 + 1). (1 + 1) = 3 x 2 = 6 divisores

Esses divisores são: 1, 2, 4, 71, 142 e 284, conforme indicado no início.

- Exercício 2

Verificar a fórmula de Euler para n = 4 em = 3 gera o triplo dos números primos (p, q, r) = (23,47, 1151). Qual é o par de números amigáveis formados com eles?

Solução

Os números primos p, q e r são calculados por:

p = (2^n-m+ 1). 2^m – 1

q = (2^n-m+ 1). 2ⁿ – 1

r = (2^n-m+ 1)². 2^{m + n} – 1

Substituindo os valores de m = 3 e n = 4, obtemos:

p = (2^4-3+ 1). 2³ – 1= 23

q = (2^4-3+ 1). 2⁴ – 1 = 47

r = (2^4-3+ 1)². 2⁴⁺³ – 1 = 1151

Agora, a fórmula é aplicada para encontrar o par de números amigáveis a e b:

a = 2ⁿpq

b = 2ⁿr

a = 2ⁿpq = 16,23,47 = 17,296

b = 2ⁿr = 16. 1151 = 18,416

E, de fato, eles estão entre a lista dos primeiros pares de números amigáveis que mostramos anteriormente.

Referências

Baldor, A. 1986. Arithmetic. Codex de edições e distribuições.
Tudo sobre números primos. Números amigáveis. Recuperado de: Númeroprimos.org.
Wolfram MathWorld. Regra de Euler. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.
Wikipedia. Números amigáveis. Recuperado de: en.wikipedia.org.
Wikipedia. Números amigáveis. Recuperado de: es.wikipedia.org.