Teorema de Steiner: explicação, aplicações, exercícios - Ciência - 2023

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Teorema de Steiner: explicação, aplicações, exercícios - Ciência
Teorema de Steiner: explicação, aplicações, exercícios - Ciência

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o Teorema de Steiner, também conhecido como teorema dos eixos paralelos, permite avaliar o momento de inércia de um corpo estendido, em torno de um eixo paralelo a outro que passa pelo centro de massa do objeto.

Foi descoberto pelo matemático suíço Jakob Steiner (1796 –1863) e afirma o seguinte: deixe ICM o momento de inércia do objeto em relação a um eixo que passa por seu centro de massa CM e Iz o momento de inércia em relação a outro eixo paralelo a ele.

Conhecendo a distância D que separa os dois eixos e a massa M do corpo em questão, o momento de inércia em relação ao eixo desconhecido é:

Euz = EuCM + MD2

O momento de inércia indica como é fácil para um objeto girar em torno de um determinado eixo. Depende não apenas da massa do corpo, mas de como ela se distribui. Por este motivo, também é conhecido como Inércia rotacional, estando suas unidades no Sistema Internacional Kg. m2.


O teorema mostra que o momento de inércia Euz é sempre maior que o momento de inércia EuCM em uma quantia dada por M.D2.

Formulários

Como um objeto é capaz de girar em torno de vários eixos, e nas tabelas geralmente apenas o momento de inércia é dado em relação ao eixo que passa pelo centróide, o teorema de Steiner facilita o cálculo quando é necessário girar os corpos nos eixos. que não combinam com isso.

Por exemplo, uma porta geralmente não gira em torno de um eixo através de seu centro de massa, mas em torno de um eixo lateral, onde as dobradiças aderem.

Conhecendo o momento de inércia, é possível calcular a energia cinética associada à rotação em torno do referido eixo. sim K é a energia cinética, Eu o momento de inércia em torno do eixo em questão e ω a velocidade angular, verifica-se que:

K = ½ I.ω2


Esta equação se parece muito com a fórmula bastante familiar de energia cinética para um objeto de massa M movendo-se em velocidade v:  K = ½ M.v2. E é que o momento de inércia ou inércia rotacional Eu desempenha o mesmo papel na rotação como massa M Em tradução.

Prova do teorema de Steiner

O momento de inércia de um objeto estendido é definido como:

I = ∫r2 dm

Ondedm é uma porção infinitesimal de massa e r é a distância entre dm e o eixo de rotação z. Na figura 2 este eixo cruza o centro de massa CM, porém pode ser qualquer.

Em torno de outro eixoz ’, o momento de inércia é:

Euz=∫(r ')2 dm

Agora, de acordo com o triângulo formado pelos vetores D, r Y r ' (veja a figura 2 à direita), há uma soma vetorial:


r + r ' = D   → r ' = D – r

Os três vetores estão no plano do objeto, que pode ser oxy. A origem do sistema de coordenadas (0,0) é escolhida no CM para facilitar os cálculos que se seguem.

Desta forma, o módulo quadrado do vetor r ' isto é:

(r ’)2 = (Dx- rx)2 + (DY - rY)2 =

= Dx2 + DY2 + rx2 + rY2 -2Dxrx - 2 DYrY =

= D2 + r2 - 2Dxrx - 2 DYrY

Agora esse desenvolvimento é substituído na integral do momento de inércia Ize também a definição de densidade dm = ρ.dV é usada:

O termo M. D2 que aparece no teorema de Steiner vem da primeira integral, a segunda é o momento de inércia em relação ao eixo que passa por CM.

Por sua vez, o terceiro e o quarto integrais valem 0, pois, por definição, constituem a posição do CM, que foi escolhida como origem do sistema de coordenadas (0,0).

Exercícios resolvidos

- Resolvido o exercício 1

A porta retangular da Figura 1 tem massa de 23 kg, 1,30 de largura e 2,10 m de altura. Determine o momento de inércia da porta em relação ao eixo que passa pelas dobradiças, supondo que a porta seja fina e uniforme.

Solução

De uma tabela de momentos de inércia, para uma placa retangular de massa M e dimensões para Y b, o momento de inércia em torno do eixo que passa por seu centro de massa é: ICM = (1/ 12)M(para2 + b2).

Uma porta homogênea será assumida (uma aproximação, uma vez que a porta na figura provavelmente não é). Nesse caso, o centro de massa passa por seu centro geométrico. Na figura 3 foi traçado um eixo que passa pelo centro de massa, também paralelo ao eixo que passa pelas dobradiças.

EuCM = (1/12) x 23 Kg x (1,302+2.102) m2 = 11,7 Kg.m2

Aplicando o teorema de Steiner para o eixo verde de rotação:

Eu = euCM + MD2 = 11,7 Kg.m2 + 23 Kg x 0,652 m2 = 21,4 kg.

- Exercício 2 resolvido

Encontre o momento de inércia de uma haste fina homogênea quando ela gira em torno de um eixo que passa por uma de suas extremidades, veja a figura. É maior ou menor que o momento de inércia quando gira em torno de seu centro? Por quê?

Solução

De acordo com a tabela de momentos de inércia, o momento de inércia EuCM de uma haste de massa fina M e comprimento eu isto é:EuCM = (1/12) ML2

E o teorema de Steiner afirma que quando ele é girado em torno de um eixo que passa por uma extremidade D = L / 2 permanece:

Eu = euCM + MD2 = (1/12) ML2 + M (L / 2)2= (1/3) ML2

É maior, embora não apenas duas vezes, mas 4 vezes mais, já que a outra metade da haste (não sombreada na figura) gira descrevendo um raio maior.

A influência da distância ao eixo de rotação não é linear, mas quadrática. Uma massa que é o dobro da distância que outra, terá um momento de inércia proporcional a (2D)2 = 4D2.

Referências

  1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 313-340.
  2. Georgia State University. Movimento rotacional. Recuperado de: phys.nthu.edu.tw.
  3. Teorema do Eixo Paralelo. Recuperado de: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
  4. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
  5. Wikipedia. Teorema do eixo paralelo. Recuperado de: en.wikipedia.org