Romboide: características, como obter o perímetro e área - Ciência - 2023

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UMA rombóide É uma figura plana com quatro lados, -um quadrilátero-, em que seus lados e ângulos internos são diferentes de dois para dois. Portanto, o romboide pertence ao grupo dos paralelogramos oblíquos.

As figuras geométricas fazem parte da natureza e em particular aquelas com quatro faces, como o romboide, têm muitas aplicações na arquitetura e no design.

Acima, ele faz parte da fachada do estádio de futebol Allianz Arena em Munique. São painéis de diamantes iluminados com as cores do time da casa.

É, portanto, uma figura com muito dinamismo visual, pois ao contrário de outros quadriláteros, não possui eixo de simetria. A figura a seguir mostra vários rombóides com várias orientações no plano.

Características romboides

Aqui estão as principais características desta interessante figura geométrica:

- Número de lados: 4.

- Número de vértices: 4.

-Os lados opostos são iguais e paralelos, enquanto os lados adjacentes são desiguais.

-Possui 4 ângulos internos: dois agudos (menores que 90º), denotados pela letra grega α e dois obtusos (maiores que 180º), chamados β (ver figura 3).

-Ao adicionar dois ângulos contíguos do romboide, obtém-se 180º, portanto α e β são suplementar.

-A soma dos 4 ângulos internos é igual a 360º.

-A diagonal é um segmento que começa em um vértice e termina no vértice oposto.

-O ponto em que as diagonais do romboide se cruzam é chamado baricentro.

-As diagonais do romboide têm tamanhos diferentes.

Sobre as diagonais do romboide existem alguns detalhes importantes que discutiremos a seguir.

Diagonais do romboide

É muito importante observar que as diagonais dos rombóides não são bissetoras, ou seja, não dividem os ângulos internos da figura em duas partes iguais.

As diagonais também não são perpendiculares entre si. No entanto, podemos calculá-los facilmente com o teorema do cosseno. Assim, a diagonal principal D_M no romboide da figura 3 é:

D_M = √ (a² + b² - 2.ab.cos β)

E a diagonal menor D_m seria:

D_m = √ (a² + b² - 2.ab.cos α)

Importante: uma vez que α e β são complementares, é verdade que:

sin α = sin β

cos α = -cos β

Essas propriedades das relações trigonométricas devem ser levadas em consideração na resolução dos exercícios.

Como obter o perímetro e a área

Para encontrar o perímetro e a área vamos nomear os lados do romboide, estes serão para Y b. Também temos a altura do romboide, chamada h, que é a linha traçada de um dos vértices e direcionada perpendicularmente ao lado oposto da figura.

Perímetro romboide

O perímetro do romboide é calculado somando os comprimentos de seus quatro lados. Vamos chamar o perímetro P, então:

P = 2a + 2b

Também podemos expressá-lo por meio de:

P = 2 (a + b)

Perímetro conhecendo a altura

Se olharmos de perto, a altura h pode ser determinada a partir do triângulo à esquerda na figura 4. O lado b seria a hipotenusa e a altura h a perna oposta ao ângulo α, portanto:

sin α = perna oposta / hipotenusa

O bem:

sin α = h / b

Então resolvemos para b:

b = h / sin α

Substituímos no perímetro P:

P = 2 [a + (h / sin α)]

Área romboide

A área do romboide é a medida de sua superfície. E por ser um paralelogramo, sua área A é dada pela conhecida expressão:

A = base x altura

Que de acordo com as figuras 3 e 4 é expresso por:

A = a x h

Área conhecendo os dois lados e um ângulo interno

Aplicando a trigonometria básica da seção anterior, encontramos expressões equivalentes para a área do romboide:

h = b. sin α

Portanto, a área se parece com isto:

A = a. b. sin α

Lembrando o que dissemos acima sobre ângulos suplementares, podemos substituir o pecado α por pecado β, se necessário.

Área conhecendo as diagonais e o ângulo entre elas

Finalmente, se conhecermos as diagonais D_M e D_m, mais o ângulo γ entre eles (ver figura 3), a área pode ser calculada por meio do semiproduto das diagonais pelo seno do referido ângulo:

Exercício resolvido

No seguinte romboide, cujas dimensões são dadas em unidades arbitrárias u.a., encontre:

a) O valor do perímetro

b) A área

c) Os ângulos internos α e β

d) O comprimento do segmento RX

e) A medida de cada uma das diagonais

Solução para

O perímetro P é:

P = 2 (a + b)

Primeiro identificamos os valores de a e b:

a = 20

b = 15

Substituímos na fórmula e calculamos:

P = 2. (20 + 15) = 70 u.a.

Solução b

O diagrama fornece a altura h = 12 u.a, portanto, a área pode ser calculada com a fórmula:

A = a x h

A = 20 x 12 u.a.² = 240 u.a.²

Independentemente da unidade selecionada para medir os lados e a altura, a área é sempre expressa em unidades ao quadrado.

O mesmo resultado se obtiver calculando a área com a outra altura do romboide, que vale 16 u.a. Em efeito:

A = 16 x 15 u.a.² = 240 u.a.²

Solução c

O ângulo α pode ser calculado através de:

h = b. sin α

Uma vez que os valores de h e b são conhecidos, portanto:

α = arcsen (h / b) = arcsen (12/15) = 53,13º

Lembrando que os ângulos α e β são complementares, fica satisfeito:

α + β = 180º ⇒ β = 180 – 53.13º = 126.87º

Solução d

O comprimento do segmento RX é facilmente calculado, pois há informações suficientes para localizá-lo. Por exemplo por:

RX = RV. cos α = 15. cos 53,13º u.a. = 9 u.a.

Também através do teorema de Pitágoras através do triângulo retângulo com lados 15 e 12 u.a:

(RV)² = (RX)² + h²

Resolvendo o comprimento do segmento de interesse:

RX = √ [(RV)² - h²] = √ [15² – 12²] = √81 = 9

Solução e

A medida de uma das diagonais, por exemplo a diagonal que une os vértices R e T, que é uma diagonal maior, é dada pelo teorema do cosseno, conforme explicado anteriormente, então substituímos os valores ali:

D_M = √ (20² + 25² - 2. 20. 15 .cos 126,87º) = 37,22 u.a.

Para a diagonal menor:

D_m = √ (20² + 25² - 2. 20. 15 .cos 53,13º) = 25,79 u.a.

Referências

Alexander, D. 2013. Geometria. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Baldor, A. 1973. Geometria e trigonometria. Editora Cultural da América Central.
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Jiménez, R. 2010. Mathematics II. Geometria e trigonometria. Segunda edição. Prentice Hall.
Polígonos regulares. Recuperado de: mate.ingenieria.usac.edu.gt.
Fórmulas do universo. Rombóide. Recuperado de: universoformulas.com.
Wikipedia. Rombóide. Recuperado de: es.wikipedia.org.