Coeficiente de determinação: fórmulas, cálculo, interpretação, exemplos - Ciência - 2023

Contente

• Como calcular o coeficiente de determinação?
• Caso ilustrativo
• Interpretação
• Exemplos
• - Exemplo 1
• Solução
• - Exemplo 2
• Solução
• - Exemplo 3
• Solução
• Comparação de ajuste
• Conclusões
• Referências

o coeficiente de determinação é um número entre 0 e 1 que representa a fração de pontos (X, Y) que segue a linha de regressão de ajuste de um conjunto de dados com duas variáveis.

Também é conhecido como qualidade de ajuste e é denotado por R². Para calculá-lo, é considerado o quociente entre a variância dos dados estimatedi estimados pelo modelo de regressão e a variância dos dados Yi correspondentes a cada Xi dos dados.

R² = Sŷ / Sy

Se 100% dos dados estiverem na linha da função de regressão, o coeficiente de determinação será 1.

Pelo contrário, se para um conjunto de dados e uma certa função de ajuste o coeficiente R² acaba sendo igual a 0,5, então pode-se dizer que o ajuste é 50% satisfatório ou bom.

Da mesma forma, quando o modelo de regressão retorna valores de R² menor que 0,5, indica que a função de ajuste escolhida não se adapta satisfatoriamente aos dados, portanto é necessário procurar outra função de ajuste.

E quando o covariância ou o coeficiente de correlação tende a zero, então as variáveis ​​X e Y nos dados não estão relacionadas e, portanto, R² ele também tenderá a zero.

Como calcular o coeficiente de determinação?

Na seção anterior, foi dito que o coeficiente de determinação é calculado encontrando o quociente entre as variâncias:

-Estimado pela função de regressão da variável Y

-A da variável Yi correspondente a cada uma das variáveis ​​Xi dos N pares de dados.

Expresso matematicamente, é assim:

R² = Sŷ / Sy

Desta fórmula segue que R² representa a proporção da variância explicada pelo modelo de regressão. Alternativamente, R pode ser calculado² utilizando a seguinte fórmula, totalmente equivalente à anterior:

R² = 1 - (Sε / Sy)

Onde Sε representa a variância dos resíduos εi = Ŷi - Yi, enquanto Sy é a variância do conjunto de valores Yi dos dados. Para determinar Ŷi é aplicada a função de regressão, o que significa afirmar que Ŷi = f (Xi).

A variância do conjunto de dados Yi, com i de 1 a N é calculada desta forma:

Sy = [Σ (Yi - )² ) / (N-1)]

E então proceda de forma semelhante para Sŷ ou para Sε.

Caso ilustrativo

A fim de mostrar o detalhe de como o cálculo do coeficiente de determinação Pegaremos o seguinte conjunto de quatro pares de dados:

(X, Y): {(1, 1); (2,3); (3, 6) e (4, 7)}.

Um ajuste de regressão linear é proposto para este conjunto de dados, que é obtido usando o método dos mínimos quadrados:

f (x) = 2,1 x - 1

Aplicando esta função de ajuste, os torques são obtidos:

(X, Ŷ): {(1, 1,1); (2, 3,2); (3, 5.3) e (4, 7.4)}.

Em seguida, calculamos a média aritmética para X e Y:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2.5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4.25

Variance Sy

Sy = [(1 - 4,25)² + (3 – 4.25)² + (6 – 4.25)² +…. ….(7 – 4.25)²] / (4-1)=

= [(-3.25)²+ (-1.25)² + (1.75)² + (2.75)²) / (3)] = 7.583

Variância Sŷ

Sŷ = [(1,1 - 4,25)² + (3.2 – 4.25)² + (5.3 – 4.25)² +…. ….(7.4 – 4.25)²] / (4-1)=

= [(-3.25)² + (-1.25)² + (1.75)² + (2.75)²) / (3)] = 7.35

Coeficiente de determinação R²

R² = Sŷ / Sy = 7,35 / 7,58 = 0,97

Interpretação

O coeficiente de determinação para o caso ilustrativo considerado no segmento anterior acabou sendo 0,98. Em outras palavras, o ajuste linear por meio da função:

f (x) = 2,1x - 1

É 98% confiável para explicar os dados com os quais foi obtido pelo método dos mínimos quadrados.

Além do coeficiente de determinação, existe o coeficiente de correlação linear ou também conhecido como coeficiente de Pearson. Este coeficiente, denotado comor, é calculado pela seguinte relação:

r = Sxy / (Sx Sy)

Aqui, o numerador representa a covariância entre as variáveis ​​X e Y, enquanto o denominador é o produto do desvio padrão da variável X e do desvio padrão da variável Y.

O coeficiente de Pearson pode assumir valores entre -1 e +1. Quando este coeficiente tende a +1, há uma correlação linear direta entre X e Y. Se, em vez disso, tende a -1, há uma correlação linear, mas quando X aumenta, Y diminui. Por fim, está próximo de 0, não há correlação entre as duas variáveis.

Deve-se observar que o coeficiente de determinação coincide com o quadrado do coeficiente de Pearson, apenas quando o primeiro foi calculado com base em um ajuste linear, mas essa igualdade não é válida para outros ajustes não lineares.

Exemplos

- Exemplo 1

Um grupo de alunos do ensino médio decidiu determinar uma lei empírica para o período de um pêndulo em função de seu comprimento. Para atingir este objetivo, realizam uma série de medições em que medem o tempo de oscilação de um pêndulo para diferentes comprimentos obtendo os seguintes valores:

É solicitado fazer um gráfico de dispersão dos dados e executar um ajuste linear por meio de regressão. Além disso, mostre a equação de regressão e seu coeficiente de determinação.

Solução

Um coeficiente de determinação bastante alto (95%) pode ser observado, então pode-se pensar que o ajuste linear é ótimo. No entanto, se os pontos forem vistos juntos, parece que eles tendem a se curvar para baixo. Este detalhe não está contemplado no modelo linear.

- Exemplo 2

Para os mesmos dados do Exemplo 1, faça um gráfico de dispersão dos dados.Nesta ocasião, ao contrário do exemplo 1, um ajuste de regressão é solicitado usando uma função potencial.

Mostre também a função de ajuste e seu coeficiente de determinação R².

Solução

A função potencial é da forma f (x) = Ax^B, onde A e B são constantes determinadas pelo método dos mínimos quadrados.

A figura anterior mostra a função potencial e seus parâmetros, bem como o coeficiente de determinação com um valor muito alto de 99%. Observe que os dados seguem a curvatura da linha de tendência.

- Exemplo 3

Usando os mesmos dados do Exemplo 1 e Exemplo 2, execute um ajuste polinomial de segundo grau. Mostrar gráfico, polinômio de ajuste e coeficiente de determinação R² correspondente.

Solução

Com o ajuste polinomial de segundo grau, você pode ver uma linha de tendência que se ajusta bem à curvatura dos dados. Além disso, o coeficiente de determinação está acima do ajuste linear e abaixo do ajuste potencial.

Comparação de ajuste

Dos três ajustes mostrados, aquele com o maior coeficiente de determinação é o ajuste potencial (exemplo 2).

O ajuste potencial coincide com a teoria física do pêndulo, que, como se sabe, estabelece que o período de um pêndulo é proporcional à raiz quadrada de seu comprimento, sendo a constante de proporcionalidade 2π / √g onde g é a aceleração da gravidade.

Esse tipo de ajuste de potencial não apenas possui o maior coeficiente de determinação, mas o expoente e a constante de proporcionalidade correspondem ao modelo físico.

Conclusões

-O ajuste de regressão determina os parâmetros da função que visa explicar os dados usando o método dos mínimos quadrados. Este método consiste em minimizar a soma da diferença quadrática entre o valor Y de ajuste e o valor Yi dos dados para os valores Xi dos dados. Isso determina os parâmetros da função de ajuste.

-Como vimos, a função de ajuste mais comum é a linha, mas não é a única, pois os ajustes também podem ser polinomiais, potenciais, exponenciais, logarítmicos e outros.

- Em qualquer caso, o coeficiente de determinação depende dos dados e do tipo de ajuste e é uma indicação da bondade do ajuste aplicado.

-Finalmente, o coeficiente de determinação indica a porcentagem da variabilidade total entre o valor Y dos dados em relação ao valor Ŷ do ajuste para o X dado.

Referências

1. González C. Estatísticas Gerais. Recuperado de: tarwi.lamolina.edu.pe
2. IACS. Instituto Aragonês de Ciências da Saúde. Recuperado de: ics-aragon.com
3. Salazar C. e Castillo S. Princípios básicos de estatística. (2018). Recuperado de: dspace.uce.edu.ec
4. Superprof. Coeficiente de determinação. Recuperado de: superprof.es
5. USAC. Manual de estatísticas descritivas. (2011). Recuperado de: statistics.ingenieria.usac.edu.gt.
6. Wikipedia. Coeficiente de determinação. Recuperado de: es.wikipedia.com.