Raio de convergência: definição, exemplos e exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o raio de convergência de uma série de potências é o raio do círculo de convergência para o qual a série converge. Este círculo se estende desde o valor que cancela a base das potências até a singularidade mais próxima da função associada à série.

Qualquer função analítica f (z) associou uma série de poderes em torno de um ponto não singular, chamado Série Taylor:

Ondepara é o centro do círculo de convergência, z a variável independente da função e o c_nsão coeficientes relacionados às derivadas da função F no ponto z = a.

O raio de convergência r é um número real positivo que define a região:

| z - a | <r

Onde a série converge. Fora dessa região a série diverge, ou seja, assume valores infinitos. Quando o raio de convergência é infinito, a série converge em todo o plano complexo.

Como o raio de convergência é determinado?

Para que uma série seja convergente, é necessário que o valor absoluto dos termos sucessivos diminua quando o número de termos for muito grande. Na forma matemática, seria expresso da seguinte forma:

Usando as propriedades dos limites na expressão anterior, obtemos:

Aquir é o raio de convergência e | z - a | <r é o círculo de limite aberto no plano complexo para onde a série converge. Caso o valor para e a variável z são números reais, então o intervalo aberto de convergência no eixo real será: (a - r, a + r).

Série Taylor

Série de Taylor de uma função f (x) em torno de um valor para em que a função tem derivadas infinitas, é uma série de poderes que é definida como:

No ambiente | x - a | <r, comr Como o raio de convergência da série, temos a série de Taylor e a função f (x) Combine.

Por outro lado, o raio de convergência r é a distância do ponto para e a singularidade x_s mais próximo do ponto para, os pontos singulares sendo aqueles valores onde o limite da função tende ao infinito.

Ou seja, quando x → x_stão f → ± ∞.

Exemplos

Exemplo 1

Estar S (x) a série de poderes dada pela seguinte expressão:

S (x) = 1 - x + x²- x³+ x⁴– …….+(-1)ⁿ ⋅ xⁿ + ….

Para determinar a região onde a série converge, calculamos o quociente entre o termo (nth + 1) e o termo (nth):

O valor absoluto do quociente acima é | x | e seu limite quando n → ∞ também é | x |.

Para que a série seja convergente é necessário que:

Então, o raio de convergência desta série é r = 1, uma vez que converge para valores de x que estão a uma distância menor que 1 em relação ao centro x = 0.

Exemplo 2

Queremos encontrar a série de Taylor da função f (x) = 1 / (1 + x) em torno do ponto x = 0 e determinar seu raio de convergência.

Para encontrar a série, tomamos as derivadas sucessivas da função f (x), das quais mostraremos as três primeiras:

Levando em consideração que o termo de ordem zero da série de Taylor é:

f (0) = 1,

O primeiro pedido:f '(0) / 1!

Segunda ordem:

f ’’ (0) / 2!

Terceiro pedido:

f ’’ ’(0) / 3!

E assim por diante, temos que a série de Taylor da função dada é:

f (x) = 1 - x + x² - x³ + x⁴ – …….+(-1)ⁿ ⋅ xⁿ + ….

Que coincide com a série de potências estudada no exemplo 1.

Já dissemos que o raio de convergência de uma série de Taylor é a distância do centro da expansão da série, que no nosso caso é o valor x = 0 até a primeira singularidade da função f (x).

Uma vez que nossa função tem uma singularidade (ou seja, um infinito) em x = -1, a distância entre o valor -1 e o centro de expansão 0 isto é |-1 – 0| = 1, conclui-se que o raio de convergência da série de Taylor é 1.

Este resultado coincide totalmente com o obtido no Exemplo 1 por outro método.

O fato de a zona de convergência da série de Taylor ser o intervalo aberto (-1, 1) implica que a função e a série coincidam neste intervalo, mas não fora dele.

Isso é mostrado na Figura 2, onde 41 termos foram retirados da série de Taylor, desenhados pela linha contínua azul, enquanto a função original é mostrada pela linha vermelha do segmento.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Considere a mesma função f (x) = 1 / (1 + x) do exemplo 2, mas desta vez somos solicitados a encontrar a série de Taylor da referida função em torno do ponto a = 1.

Solução

Encontramos os termos dos coeficientes sucessivos da série, começando com o termo independente que é f (1) = ½.

O próximo coeficiente que corresponde ao termo de primeira ordem é:

f '(1) / 1! = -¼

A segunda ordem é:

f ’’ (1) / 2! = 2 / (2³ 2!)

O coeficiente de terceira ordem segue:

f ’’ ’(1) / 3! = -6 / (2⁴ 3!)

E assim por diante. A série de Taylor será:

Sf (x) = ½ - 1/2² (x-1) + 1/2³(x-1)² – 1/2⁴ (x-1)³ + 1/2⁵ (x-1)⁴– …..

- Exercício 2

Encontre o raio de convergência da série anterior

Solução

Escrevemos o enésimo termo e o enésimo termo mais um:

Calculamos o quociente desses dois termos, que é mostrado abaixo de forma simplificada:

O valor absoluto da expressão anterior é obtido obtendo:

| x - 1 | / 2

Porém, para que a série seja convergente é necessário que a quantidade anterior seja estritamente menor que a unidade, ou seja:

| x - 1 | <2

O que nos diz que o raio de convergência em torno do valor x = 1 é:

r = 1

Por outro lado, a expressão anterior equivale à dupla desigualdade:

-2 <x - 1 <+2

Se adicionarmos +1 a cada um dos três membros da expressão anterior, obtemos:

-1 <x <3

Qual é o intervalo de convergência da série.

A Figura 1 mostra a função original e a série de Taylor dessa função em torno do ponto x = 1. Na figura pode-se verificar que a série coincide com a função em uma vizinhança do ponto x = 1, mas dentro do raio de convergência.

Referências

Fundação CK-12. Power Series: representação de funções e operações. Recuperado de: ck12.org.
Engler, A. 2019. Integral Calculus. Universidade Nacional do Litoral.
Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
Textos Livres de Matemática. Série de potências. Recuperado de: math.liibretexts.org.
Wikipedia. Série de potências. Recuperado de: es.wikipedia.org.
Wikipedia. Raio de convergência. Recuperado de: en.wikipedia.org