Álgebra de blocos: elementos, exemplos, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o álgebra de blocos refere-se ao conjunto de operações que são executadas por meio de blocos. Esses e alguns outros elementos servem para representar esquematicamente um sistema e visualizar facilmente sua resposta a uma determinada entrada.

Em geral, um sistema contém diversos elementos elétricos, eletrônicos e eletromecânicos, e cada um deles, com sua respectiva função e posição no sistema, bem como a forma como se relacionam, é delineada por blocos funcionais.

Na figura acima existe um sistema muito simples, constituído por um sinal de entrada X (s), que entra no bloco com a função de transferência G (s) que o modifica e produz a saída Y (s).

É conveniente representar os sinais e sua trajetória no sistema por meio de setas que entram e saem de cada bloco. Normalmente, o fluxo do sinal é direcionado da esquerda para a direita.

A vantagem desse tipo de esquema é o auxílio visual que ele fornece para a compreensão do sistema, mesmo que não seja uma representação física do sistema. Na verdade, o diagrama de blocos não é único, pois dependendo do ponto de vista, vários diagramas do mesmo sistema podem até ser desenhados.

Também pode acontecer que o mesmo diagrama sirva a vários sistemas que não necessariamente se relacionam entre si, desde que descreva adequadamente o seu comportamento. Existem diferentes sistemas cuja resposta é semelhante em muitos aspectos, por exemplo, um circuito LC (indutor-capacitor) e um sistema massa-mola.

O que é um diagrama de blocos?

Os sistemas são geralmente mais complicados do que o da Figura 1, mas a álgebra de blocos fornece uma série de regras simples para manipular o esquema do sistema e reduzi-lo à sua versão mais simples.

Conforme explicado no início, o diagrama usa blocos, setas e círculos para estabelecer a relação entre cada componente do sistema e o fluxo de sinais que passam por ele.

A álgebra de blocos permite comparar dois ou mais sinais adicionando, subtraindo e multiplicando-os, bem como analisando a contribuição que cada componente faz ao sistema.

Graças a isso, é possível reduzir todo o sistema a um único sinal de entrada, uma única função de transferência que descreve totalmente a ação do sistema e a saída correspondente.

Elementos do diagrama de blocos

Os elementos do diagrama de blocos são os seguintes:

O sinal

Os sinais são de natureza muito variada, por exemplo, é comum que seja uma corrente elétrica ou uma voltagem, mas pode ser luz, som e muito mais. O importante é que contenha informações sobre um determinado sistema.

O sinal é denotado por uma letra maiúscula se for uma função da variável s da transformada de Laplace: X (s) (ver figura 1) ou com letras minúsculas se for uma função do tempo t, como x (t).

No diagrama de blocos, o sinal de entrada é representado por uma seta direcionada ao bloco, enquanto o sinal de saída, denotado como Y (s) ou y (t), é indicado por uma seta que sai.

Os sinais de entrada e saída são únicos e a direção do fluxo de informações é determinada pela direção da seta.E a álgebra é a mesma para qualquer uma das duas variáveis.

O bloco

O bloco é representado por um quadrado ou retângulo (ver figura 1) e pode ser usado para realizar operações ou implementar a função de transferência, que geralmente é denotada pela letra maiúscula G. Esta função é um modelo matemático usando que descreve a resposta oferecida pelo sistema a um sinal de entrada.

A função de transferência pode ser expressa em termos de tempo t como G (t) ou a variável s como G (s).

Quando o sinal de entrada X (s) atinge o bloco, ele é multiplicado pela função de transferência e transformado no sinal de saída Y (s). Matematicamente, é expresso assim:

Y (s) = X (s) .G (s)

De forma equivalente, a função de transferência é a razão entre a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada, desde que as condições iniciais do sistema sejam nulas:

G (s) = Y (s) / X (s)

Ponto de soma

O ponto de adição ou somador é simbolizado por um círculo com uma cruz dentro. É usado para combinar, por meio de adição e subtração, dois ou mais sinais. No final da seta que simboliza o sinal, um sinal + é colocado diretamente se o sinal for adicionado ou um sinal - se for subtraído.

Na figura a seguir há um exemplo de como funciona o somador: temos o sinal de entrada X, ao qual se somam os sinais A e B, obtendo-se como resultado a saída Y, que é algebricamente equivalente a:

Y = X + A + B

Ponto de ramificação

Também é chamado ponto de bifurcação. Nele, o sinal que sai de um bloco é distribuído para outros blocos ou para um somador. É representado por um ponto colocado na seta do sinal e sai outra seta que redireciona o sinal para outra parte dele.

Exemplos de regras de álgebra de blocos

Conforme explicado anteriormente, a ideia é expressar o sistema usando o diagrama de blocos e reduzi-lo para encontrar a função de transferência que o descreve. A seguir estão as regras de álgebra de blocos para simplificar os diagramas:

Blocos em cascata

Quando você tem um sinal que passa sucessivamente pelos blocos G₁, G₂, G₃..., é reduzido a um único bloco cuja função de transferência é o produto de G₁, G₂, G₃…

No exemplo a seguir, o sinal X (s) entra no primeiro bloco e sua saída é:

Y₁(s) = X (s) .G₁(s)

Vire Y₁(s) entrar no bloco G₂(s), cuja saída é:

Y₂(s) = X (s) .G₁(s). G₂(s)

O procedimento é válido para n blocos em cascata:

Y_n(s) = X (s). G₁(s) .G₂(s)… ..G_n(s)

Blocos paralelos

No diagrama à esquerda, o sinal X (s) se ramifica para entrar nos blocos G₁(s) e G₂(s):

Os respectivos sinais de saída são:

Y₁(s) = X (s) .G₁(s)

Y₂(s) = X (s) .G₂(s)

Esses sinais são adicionados para obter:

C (s) = Y₁(s) + Y₂(s) = X (s). [G₁(s) + G₂(s)]

Conforme mostrado no diagrama à direita.

Mova um somador para a esquerda

Um somador pode ser movido para a esquerda do bloco da seguinte forma:

À esquerda, o sinal de saída é:

C (s) = R (s). G (s) - X (s)

Equivalentemente à direita:

C (s) = [R (s) - X (s) / G (s)]. G (s)

Mova um somador para a direita

O somador pode ser movido para a direita do bloco assim:

À esquerda temos: [R (s) - X (s)]. G (s) = C (s)

E à direita:

R (s). G (s) - X (s). G (s) = C (s)

Mova um ponto de ramificação da esquerda para a direita

Para mover o ponto de ramificação da esquerda para a direita do bloco, basta observar que a saída C (s) para a direita é o produto X (s) .G (s). Já que você deseja convertê-lo para X (s) novamente, multiplique pelo inverso de G (s).

Mova um ponto de ramificação da direita para a esquerda

Alternativamente, o ponto de ramificação pode ser movido da direita para a esquerda da seguinte forma:

Como na saída do ramal queremos obter C (s), basta inserir um novo bloco G (s) em um ponto do ramal à esquerda do bloco original.

Sistema de feedback

No sistema a seguir, o sinal de saída C (s) é realimentado através do adicionador à esquerda:

C (s) = E (s) .G (s)

Mas:

E (s) = R (s) –C (s)

Substituindo esta expressão na equação anterior, obtemos: C (s) = [R (s) –C (s)]. G (s), a partir do qual C (s) pode ser resolvido:

C (s) + C (s) .G (s) = R (s) .G (s) → C (s). [1 + G (s)] = R (s) .G (s)

C (s) = R (s). G (s) / [1 + G (s)]

Ou alternativamente:

C (s) / R (s) = G (s) / [1 + G (s)]

Na forma gráfica, após a simplificação permanece:

Sistema com feedback e transdutor

O transdutor consiste na função de transferência H (s):

No diagrama à direita, o sinal de saída C (s) é:

C (s) = E (s). G (s) com E (s) = R (s) - C (s). H (s)

Então:

C (s) = [R (s) - C (s). H (s)]. G (s)

C (s) [1+ H (s) .G (s)] = R (s) .G (s)

Portanto, C (s) pode ser resolvido por:

C (s) = G (s) .R (s) / [1+ H (s) .G (s)]

E a função de transferência será:

G (s) / [1+ H (s) .G (s)]

Conforme mostrado no diagrama simplificado à direita.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Encontre a função de transferência do seguinte sistema:

Solução

Trata dois blocos em cascata, portanto a função de transferência é o produto das funções G₁ e G₂.

Se tem que:

G₁ = 2 / s

G₂ = 2 / (s + 1)

Portanto, a função de transferência procurada é:

G (s) = 4 / [s (s + 1)]

Exercício 2

Reduza o seguinte sistema:

Solução

Primeiro, a cascata G é reduzida₂, G₃ e G_4, e o G paralelo é separado₅ e G₆:

Em seguida, o somador à esquerda do bloco G₂ ⋅G₃ ⋅ G₄ move-se para a direita:

Os somadores à direita são reduzidos a apenas um, assim como os blocos em cascata:

Finalmente, a saída do sistema é:

Y (s) = X (s) ⋅G₁⋅ G₂ ⋅G₃ ⋅ G₄+ C (s) ⋅ [G₅- G₆⋅ G₂ ⋅G₃ ⋅ G₄]

Referências

Alaydi, J. Control system block diagram. Recuperado de: site.iugaza.edu.ps.
Bolton, W. 2006. Engenharia de controle. 2ª Edição. Alfa Ômega.
Cwalinsky, J. Introduction to system block algebra. Recuperado em: cedengineering.com.
Dademuchconnection. Diagrama de blocos. Recuperado de: dademuch.com.
Ogata, K. 2010. Modern control engineering. 5 ª. Edição. Pearson.