Prisma pentagonal: características, partes, vértices, arestas, volume - Ciência - 2023

Contente

• Características do prisma pentagonal
• Elementos do prisma pentagonal
• Quantos vértices um prisma pentagonal tem?
• Quantas arestas um prisma pentagonal tem?
• Como encontrar o volume de um prisma pentagonal?
• - Volume do prisma pentagonal regular
• Saber a altura e medição lateral
• Saber a altura e a medida do raio
• Conhecer a altura, a medida do apótema e o valor do perímetro
• - Volume do prisma pentagonal irregular
• Referências

UMA prisma pentagonal É uma figura geométrica tridimensional cujas bases, idênticas, têm a forma de um pentágono, possuindo também um total de 5 faces em forma de paralelogramo.

Se as faces forem retangulares, é considerado um prisma pentagonal direito, ao passo que se as bordas são inclinadas em relação às bases, então é um prisma pentagonal oblíquo. Na imagem abaixo há um exemplo de cada um.

O pentágono base pode ser regular se seus cinco lados tiverem a mesma medida, assim como os ângulos internos, caso contrário, é um pentágono irregular. Se a base do prisma for regular, éprisma pentagonal regular. Caso contrário, é um prisma irregular pentagonal.

O prisma pentagonal é uma estrutura harmoniosa usada na arquitetura e design de objetos, como o edifício moderno mostrado na figura acima. As janelas irregulares em forma de pentágono formam a base dos prismas.

Características do prisma pentagonal

-É uma figura geométrica tridimensional, as superfícies que a compõem encerram um determinado volume.

-Suas bases são pentágonos e suas faces laterais podem ser retângulos ou paralelogramos.

-Possui vértices -os cantos do prisma- e arestas -gordas ou arestas-.

-Se as arestas que unem as bases forem perpendiculares a elas, o prisma é reto, e se forem inclinadas, o prisma é oblíquo.

-Quando a base é um pentágono cujos ângulos internos são inferiores a 180º, o prisma é convexo, mas se um ou mais ângulos internos for maior que 180º, é um prisma côncavo.

Elementos do prisma pentagonal

–Bases: possui duas bases pentagonais e congruentes - suas medidas são as mesmas -, regulares ou irregulares.

–Rostos: um prisma pentagonal tem um total de 7 faces: as duas bases pentagonais e os cinco paralelogramos que compõem as laterais.

–Beira: segmento que une duas bases, mostrado em vermelho na figura 3 ou aquele que une dois lados.

–Altura: distância entre faces. Se o prisma for reto, essa distância corresponde ao tamanho da borda.

–Vértice: ponto comum entre uma base e duas faces laterais.

A figura abaixo mostra um prisma pentagonal direito de base regular, no qual os segmentos que formam a base possuem a mesma medida, denominado para.

Este tipo de prisma também possui os seguintes elementos, típicos do pentágono regular:

–Raio R: distância entre o centro do pentágono e um dos vértices.

–Apothem L_PARA: segmento que une o centro com o ponto médio de um dos lados do pentágono.

Quantos vértices um prisma pentagonal tem?

Em um pentágono existem 5 vértices e como o prisma pentagonal tem dois pentágonos como bases, este corpo possui um total de 10 vértices.

Quantas arestas um prisma pentagonal tem?

Você pode calcular o número de arestas para corpos geométricos com faces planas, como prismas, usando o Teorema de Euler para poliedros convexos. Leonhard Euler (1707-1783) é um dos maiores matemáticos e físicos da história.

O teorema estabelece uma relação entre o número de faces, que chamaremos de C, o número de vértices V e o total de arestas A da seguinte maneira:

C + V = A + 2

Para o prisma pentagonal temos: C = 7 e V = 10. Resolvendo para A, o número de arestas:

A = C + V-2

Substituindo valores:

A = 7 + 10 - 2 = 15

Um prisma pentagonal possui 15 arestas.

Como encontrar o volume de um prisma pentagonal?

O volume do prisma pentagonal mede o espaço delimitado pelas laterais e bases. É uma quantidade positiva calculada pela seguinte propriedade:

Qualquer plano que corte o prisma perpendicularmente às suas arestas gera uma interseção com o mesmo formato da base, ou seja, um pentágono com as mesmas dimensões.

Portanto, o volume do prisma pentagonal é o produto da área da base e da altura do prisma.

Estar PARA_B a área da base pentagonal e h a altura do prisma, então o volume V isto é:

V = A_B x h

Esta fórmula é de carácter geral, sendo válida para qualquer prisma, regular ou irregular, rectilíneo ou oblíquo.

O volume de um prisma sempre vem em unidades de comprimento ao cubo. Se o comprimento dos lados e a altura do prisma são dados em metros, o volume é expresso em m³, que é lido como "metros cúbicos". Outras unidades incluem cm³, km³, polegadas³ e mais.

- Volume do prisma pentagonal regular

No prisma pentagonal regular as bases são pentágonos regulares, o que significa que os ângulos laterais e internos são iguais. Dada a simetria do corpo, a área do pentágono e, portanto, o volume são facilmente calculados de várias maneiras:

Saber a altura e medição lateral

Estar para a medida do lado da base pentagonal. Nesse caso, a área é calculada por:

Portanto, o volume do prisma pentagonal regular de altura h é:

V = 1.72048 a²⋅ h

Saber a altura e a medida do raio

Quando o raio R da base pentagonal, podemos usar esta outra equação para a área da base:

A = (5/2) R²⋅ sin 72º

Desta forma, o volume do prisma pentagonal é dado por:

V = (5/2) R² ⋅ h ⋅ sin 72º

 Onde h é a altura do prisma

Conhecer a altura, a medida do apótema e o valor do perímetro

A área da base pentagonal pode ser calculada se seu perímetro P for conhecido, que é simplesmente a soma dos lados, assim como a medida do apótema L_PARA:

A = P. L_PARA / 2

Multiplicando esta expressão pelo valor da altura h, temos o volume do prisma:

V = P. L_PARA .h / 2

- Volume do prisma pentagonal irregular

A fórmula dada no início é válida mesmo quando a base do prisma é um pentágono irregular:

V = A_B x h

Vários métodos são usados ​​para calcular a área da base, por exemplo:

-Método de triangulação, que consiste em dividir o pentágono em triângulos e quadriláteros, cujas respectivas áreas são facilmente calculadas. A área do pentágono será a soma das áreas dessas figuras mais simples.

-Método dos determinantes gaussianos, para o qual é necessário conhecer os vértices da figura.

Uma vez determinado o valor da área, ele é multiplicado pela altura do prisma para obter o volume.

Referências

1. Alexander, D. 2013. Geometria. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
2. Referência de matemática aberta. Área de um polígono. Recuperado de: mathopenref.com.
3. Fórmulas do universo. Teorema de Euler para poliedros. Recuperado de: universoformulas.com.
4. Fórmulas do universo. Área de um pentágono regular. Recuperado de: universoformulas.com.
5. Wikipedia. Prisma. Recuperado de: es.wikipedia.com.
6. Wikipedia. Prisma pentagonal. Recuperado de: es.wikipedia.com.