Derivadas algébricas (com exemplos) - Ciência - 2023

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As derivados algébricos Eles consistem no estudo da derivada no caso particular das funções algébricas. A origem da noção de derivada remonta à Grécia Antiga. O desenvolvimento desta noção foi motivado pela necessidade de resolver dois problemas importantes, um em física e outro em matemática.

Na física, a derivada resolve o problema de determinar a velocidade instantânea de um objeto em movimento. Em matemática, permite encontrar a linha tangente a uma curva em um determinado ponto.

Embora realmente existam muitos mais problemas que são resolvidos usando a derivada, bem como suas generalizações, resultados que vieram após a introdução de seu conceito.

Os pioneiros do cálculo diferencial são Newton e Leibniz.Antes de dar a definição formal, vamos desenvolver a ideia por trás dela, do ponto de vista matemático e físico.

A derivada como inclinação da linha tangente a uma curva

Suponha que o gráfico de uma função y = f (x) seja um gráfico contínuo (sem picos, vértices ou separações) e seja A = (a, f (a)) um ponto fixo nele. Queremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto A.

Vamos pegar qualquer outro ponto P = (x, f (x)) no gráfico, próximo ao ponto A, e desenhar a linha secante que passa por A e P. Uma linha secante é uma linha que corta o gráfico de uma curva por um ou mais pontos.

Para obter a reta tangente que desejamos, precisamos apenas calcular a inclinação, pois já temos um ponto na reta: ponto A.

Se movermos o ponto P ao longo do gráfico e o aproximarmos cada vez mais do ponto A, a reta secante mencionada anteriormente se aproximará da reta tangente que queremos encontrar. Tomando o limite quando "P tende para A", ambas as linhas coincidirão, portanto suas inclinações também.

A inclinação da linha secante é dada por

Dizer que P se aproxima de A é equivalente a dizer que "x" se aproxima de "a". Assim, a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto A será igual a:

A expressão anterior é denotada por f '(a), e é definida como a derivada de uma função f no ponto “a”. Vemos, portanto, que analiticamente, a derivada de uma função em um ponto é um limite, mas geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto.

Agora veremos essa noção do ponto de vista da física. Chegaremos à mesma expressão do limite anterior, embora por um caminho diferente, obtendo assim a unanimidade da definição.

A derivada como a velocidade instantânea de um objeto em movimento

Vejamos um breve exemplo do que significa velocidade instantânea. Quando se diz, por exemplo, que um carro para chegar a um destino o fez com uma velocidade de 100 km por hora, o que significa que em uma hora percorreu 100 km.

Isso não significa necessariamente que durante toda a hora o carro sempre esteve 100 km, o velocímetro do carro poderia em alguns momentos marcar menos ou mais. Se você tivesse que parar em um semáforo, sua velocidade naquele instante seria de 0 km. Porém, depois de uma hora, a viagem era de 100 km.

É o que se denomina velocidade média e é dado pelo quociente entre a distância percorrida e o tempo decorrido, como acabamos de ver. Já a velocidade instantânea é aquela que marca o ponteiro do velocímetro de um carro em um determinado instante (tempo).

Vamos examinar isso agora de forma mais geral. Suponha que um objeto se mova ao longo de uma linha e que esse deslocamento seja representado pela equação s = f (t), onde a variável t mede o tempo e a variável s o deslocamento, levando em consideração seu início em o instante t = 0, momento em que também é zero, ou seja, f (0) = 0.

Esta função f (t) é conhecida como função de posição.

Busca-se uma expressão para a velocidade instantânea do objeto em um instante fixo "a". Nessa velocidade, iremos denotá-lo por V (a).

Seja t qualquer instante próximo ao instante "a". No intervalo de tempo entre “a” e “t”, a mudança na posição do objeto é dada por f (t) -f (a).

A velocidade média neste intervalo de tempo é:

Que é uma aproximação da velocidade instantânea V (a). Essa aproximação será melhor à medida que t se aproxima de "a". Portanto,

Observe que esta expressão é igual à obtida no caso anterior, mas de uma perspectiva diferente. Isso é o que é conhecido como a derivada de uma função f em um ponto "a" e é denotado por f '(a), como afirmado anteriormente.

Observe que fazendo a alteração h = x-a, temos que quando "x" tende para "a", "h" tende para 0, e o limite anterior é transformado (equivalentemente) para:

Ambas as expressões são equivalentes, mas às vezes é melhor usar uma em vez da outra, dependendo do caso.

A derivada de uma função f em qualquer ponto "x" pertencente ao seu domínio é então definida de uma forma mais geral como

A notação mais comum para representar a derivada de uma função y = f (x) é a que acabamos de ver (f 'ou y'). No entanto, outra notação amplamente usada é a notação de Leibniz, que é representada como qualquer uma das seguintes expressões:

Como a derivada é essencialmente um limite, ela pode ou não existir, pois os limites nem sempre existem. Se existir, a função em questão é considerada diferenciável em um determinado ponto.

Função algébrica

Uma função algébrica é uma combinação de polinômios por meio de adição, subtração, produtos, quocientes, potências e radicais.

Um polinômio é uma expressão da forma

P_n= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+… + A₂x²+ a₁x + a₀

Onde n é um número natural e todo um_Eu, com i = 0,1, ..., n, são números racionais e um_n≠ 0. Nesse caso, o grau desse polinômio é n.

A seguir estão exemplos de funções algébricas:

As funções exponencial, logarítmica e trigonométrica não estão incluídas aqui. As regras de derivação que veremos a seguir são válidas para funções em geral, mas iremos nos restringir e aplicá-las no caso de funções algébricas.

Ignorar regras

Derivada de uma constante

Afirma que a derivada de uma constante é zero. Ou seja, se f (x) = c, então f '(x) = 0. Por exemplo, a derivada da função constante 2 é igual a 0.

Derivado de um poder

Se f (x) = xⁿ, então f ’(x) = nx^n-1. Por exemplo, a derivada de x³ é 3x². Como consequência disso, obtemos que a derivada da função de identidade f (x) = x é f ’(x) = 1x^1-1= x⁰=1.

Outro exemplo é o seguinte: deixe f (x) = 1 / x², então f (x) = x^-2 e f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Esta propriedade também é raízes válidas, uma vez que as raízes são poderes racionais e o acima também pode ser aplicado nesse caso. Por exemplo, a derivada de uma raiz quadrada é dada por

Derivada de adição e subtração

Se f e g são funções diferenciáveis em x, então a soma f + g também é diferenciável e fica satisfeito que (f + g) ’(x) = f’ (x) + g ’(x).

Da mesma forma, temos que (f-g) ’(x) = f’ (x) -g ’(x). Em outras palavras, a derivada de uma soma (subtração), é a soma (ou subtração) das derivadas.

Exemplo

Se h (x) = x²+ x-1, então

h ’(x) = (x²) + (x) ’- (1)’ = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Derivado de um produto

Se feg são funções diferenciáveis em x, então o produto fg também é diferenciável em x e é verdade que

(fg) ’(x) = f’ (x) g (x) + f (x) g ’(x).

Como consequência, segue-se que se c é uma constante ef é uma função diferenciável em x, então cf também é diferenciável em x e (cf) ’(x) = cf’ (X).

Exemplo

Se f (x) = 3x (x²+1), então

f ’(x) = (3x)’ (x²+1) + (3x) (x²+1) ’= 3 (x)’ (x²+1) + 3x [(x²)’+(1)’]

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+ 3 + 6x²

= 9x²+3.

Derivada de um quociente

Se f e g são diferenciáveis em x e g (x) ≠ 0, então f / g também é diferenciável em x, e é verdade que

Exemplo: se h (x) = x³/ (x²-5x), então

h ’(x) = [(x³) ’(X⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) ’] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Regra da corrente

Esta regra permite derivar a composição das funções. Enuncie o seguinte: se y = f (u) é diferenciável em u, yu = g (x) é diferenciável em x, então a função composta f (g (x)) é diferenciável em x, e é verdade que [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Ou seja, a derivada de uma função composta é o produto da derivada da função externa (derivada externa) e a derivada da função interna (derivada interna).

Exemplo

Se f (x) = (x⁴-2x)³, tão

f ’(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) ’= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Existem também resultados para calcular a derivada da inversa de uma função, bem como generalização para derivadas de ordem superior. As aplicações são extensas. Dentre eles, destacam-se sua utilidade em problemas de otimização e funções de máximo e mínimo.

Referências

Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Cálculo diferencial. ITM.
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