Trinomial da forma x ^ 2 + bx + c (com exemplos) - Ciência - 2023

science

Contente

Antes de aprender a resolver o trinômio da forma x ^ 2 + bx + c, e antes mesmo de conhecer o conceito de trinômio, é importante conhecer duas noções essenciais; a saber, os conceitos de monomial e polinomial. Um monômio é uma expressão do tipo a * xn, onde a é um número racional, n é um número natural e x é uma variável.

Um polinômio é uma combinação linear de monômios da forman * xn+ an-1 * xn-1+… + A2 * x2+ a1 * x + a0, onde cada umEu, com i = 0, ..., n, é um número racional, n é um número natural e a_n é diferente de zero. Nesse caso, o grau do polinômio é n.

Um polinômio formado pela soma de apenas dois termos (dois monômios) de graus diferentes é conhecido como binômio.


Trinômios

Um polinômio formado pela soma de apenas três termos (três monômios) de diferentes graus é conhecido como trinômio. A seguir estão exemplos de trinômios:

  • x3+ x2+ 5x
  • 2x4-x3+5
  • x2+ 6x + 3

Existem vários tipos de trinômios. Destes, o trinômio quadrado perfeito se destaca.

Trinômio quadrado perfeito

Um trinômio quadrado perfeito é o resultado da quadratura de um binômio. Por exemplo:

  • (3x-2)2= 9x2-12x + 4
  • (2x3+ e)2= 4x6+ 4x3y + y2
  • (4x2-2 e4)2= 16x4-16x2Y4+ 4y8
  • 1 / 16x2Y8-1 / 2xy4z + z2= (1 / 4xy4)2-2 (1 / 4xy4) z + z2= (1 / 4xy4-z)2

Características de trinômios de grau 2

Quadrado perfeito

Em geral, um trinômio da forma machado2+ bx + c é um quadrado perfeito se seu discriminante for igual a zero; isto é, se b2-4ac = 0, pois neste caso terá uma única raiz e pode ser expresso na forma a (x-d)2= (√a (x-d))2, onde d é a raiz já mencionada.


A raiz de um polinômio é um número no qual o polinômio se torna zero; em outras palavras, um número que, ao substituir x na expressão polinomial, resulta em zero.

Fórmula de resolução

Uma fórmula geral para calcular as raízes de um polinômio de segundo grau da forma ax2+ bx + c é a fórmula do resolvente, que afirma que essas raízes são dadas por (–b ± √ (b2-4ac)) / 2a, onde b2-4ac é conhecido como discriminante e geralmente é denotado por ∆. Desta fórmula segue que machado2+ bx + c tem:

- Duas raízes reais diferentes se ∆> 0.

- Uma única raiz real se ∆ = 0.

- Não tem raiz real se ∆ <0.

A seguir, consideraremos apenas os trinômios da forma x2+ bx + c, onde claramente c deve ser um número diferente de zero (caso contrário, seria um binomial). Este tipo de trinômios tem certas vantagens ao fatorar e operar com eles.


Interpretação geométrica

Geometricamente, o trinômio x2+ bx + c é uma parábola que se abre e tem o vértice no ponto (-b / 2, -b2/ 4 + c) do plano cartesiano porque x2+ bx + c = (x + b / 2)2-b2/ 4 + c.

Esta parábola corta o eixo Y no ponto (0, c) e o eixo X nos pontos (d1, 0) e (d2, 0); então d1 e d2 são as raízes do trinômio. Pode acontecer que o trinômio tenha uma única raiz d, caso em que o único corte com eixo X seria (d, 0).

Também pode acontecer que o trinômio não tenha raiz real, caso em que não cruzaria o eixo X em nenhum ponto.

Por exemplo, x2+ 6x + 9 = (x + 3)2-9 + 9 = (x + 3)2 é a parábola com vértice em (-3,0), que intercepta o eixo Y em (0,9) e o eixo X em (-3,0).

Fatoração trinomial

Uma ferramenta muito útil ao trabalhar com polinômios é a fatoração, que consiste em expressar um polinômio como um produto de fatores. Em geral, dado um trinômio da forma x2+ bx + c, se tiver duas raízes diferentes d1 e d2, pode ser fatorado como (x-d1) (x-d2).

Se ele tiver uma única raiz d, pode ser fatorado como (x-d) (x-d) = (x-d)2, e se não tiver raiz real, permanece o mesmo; neste caso, não admite a fatoração como produto de outros fatores que não ela mesma.

Isso significa que, conhecendo as raízes de um trinômio na forma já estabelecida, sua fatoração pode ser facilmente expressa, e como já mencionado acima, essas raízes podem sempre ser determinadas usando o resolvente.

No entanto, existe uma quantidade significativa deste tipo de trinômios que podem ser fatorados sem antes conhecer suas raízes, o que simplifica o trabalho.

As raízes podem ser determinadas diretamente da fatoração, sem usar a fórmula resolvente; estes são os polinômios da forma x2 + (a + b) x + ab. Neste caso, temos:

x2+ (a + b) x + ab = x2+ ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

A partir disso, é fácil ver que as raízes são –a e –b.

Em outras palavras, dado um trinômio x2+ bx + c, se houver dois números u e v tais que c = uv e b = u + v, então x2+ bx + c = (x + u) (x + v).

Ou seja, dado um trinômio x2+ bx + c, primeiro verifica-se se há dois números tais que multiplicados dão o termo independente (c) e somados (ou subtraídos, dependendo do caso), dão o termo que acompanha ax (b).

Nem com todos os trinômios desta forma, este método pode ser aplicado; nos casos em que isso não seja possível, a resolução é utilizada e o anterior se aplica.

Exemplos

Exemplo 1

Para fatorar o seguinte trinômio x2+ 3x + 2 proceda da seguinte forma:

Você deve encontrar dois números de forma que, ao adicioná-los, o resultado seja 3 e que, ao multiplicá-los, o resultado seja 2.

Após a vistoria, pode-se concluir que os números buscados são: 2 e 1. Portanto, x2+ 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Exemplo 2

Para fatorar o trinômio x2-5x + 6 procurando dois números cuja soma é -5 e seu produto é 6. Os números que satisfazem essas duas condições são -3 e -2. Portanto, a fatoração do trinômio dado é x2-5x + 6 = (x-3) (x-2).

Referências

  1. Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com.
  2. Garo, M. (2014). Matemática: equações quadráticas: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
  3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matemática para gestão e economia. Pearson Education.
  4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemática 1 SEP. Limite.
  5. Preciado, C. T. (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
  6. Rock, N. M. (2006). Álgebra I é fácil! Tão fácil. Equipe Rock Press.
  7. Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria. Pearson Education.