Leis de expoentes e radicais - Enciclopédia - 2023

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As leis dos expoentes e radicais estabelecem um maneira simplificada ou sumária de trabalhar uma série de operações numéricas com poderes, que seguem um conjunto de regras matemáticas.

Por sua vez, a expressão a é chamada de poderⁿ, (a) representa o número da base e (n ou enésimo) é o expoente que indica quantas vezes a base deve ser multiplicada ou aumentada conforme expresso no expoente.

Leis dos expoentes

O objetivo das leis dos expoentes é resumir uma expressão numérica que, se expressa de forma completa e detalhada, seria muito extensa. É por isso que em muitas expressões matemáticas eles são expostos como poderes.

Exemplos:

5² É o mesmo que (5) ∙ (5) = 25. Ou seja, 5 deve ser multiplicado duas vezes.

2³ é o mesmo que (2) ∙ (2) ∙ (2) = 8. Ou seja, você deve multiplicar 2 três vezes.

Desta forma, a expressão numérica é mais simples e menos confusa de resolver.

1. Potência com expoente 0

Qualquer número elevado a um expoente 0 é igual a 1. Deve-se notar que a base deve ser sempre diferente de 0, ou seja, ≠ 0.

Exemplos:

para⁰ = 1

-5⁰ = 1

2. Potência com expoente 1

Qualquer número elevado a um expoente 1 é igual a si mesmo.

Exemplos:

para¹ = a

7¹ = 7

3. Produto de poderes de base igual ou multiplicação de poderes de base igual

E se tivermos duas bases iguais (a) com diferentes expoentes (n)? Isso é paraⁿ ∙ para^m. Nesse caso, as bases são as mesmas e seus poderes somados, ou seja: aⁿ ∙ para^m = a^{n + m}.

Exemplos:

2² ∙ 2⁴ é o mesmo que (2) ∙ (2) x (2) ∙ (2) ∙ (2) ∙ (2). Ou seja, os expoentes 2 são adicionados²⁺⁴ e o resultado seria 2⁶ = 64.

3⁵ ∙ 3^-2 = 3^5+(-2) = 3^5-2 = 3³ = 27

Isso ocorre porque o expoente é o indicador de quantas vezes o número base deve ser multiplicado por ele mesmo. Portanto, o expoente final será a soma ou subtração dos expoentes que possuem a mesma base.

4. Divisão de poderes de base igual ou quociente de dois poderes com base igual

O quociente de duas potências de base igual é igual a elevar a base de acordo com a diferença do expoente do numerador menos o denominador. A base deve ser diferente de 0.

Exemplos:

5. Poder de um produto ou Lei Distributiva de potenciação em relação à multiplicação

Essa lei estabelece que a potência de um produto deve ser elevada ao mesmo expoente (n) em cada um dos fatores.

Exemplos:

(a ∙ b ∙ c)ⁿ = aⁿ ∙ bⁿ ∙ cⁿ

(3 ∙ 5)³= 3³ ∙ 5³ = (3 ∙ 3 ∙ 3) (5 ∙ 5 ∙ 5) = 27 ∙ 125 = 3375.

(2ab)⁴ = 2⁴ ∙ para⁴ ∙ b⁴ = 16 a⁴b⁴

6. Poder de outro poder

Refere-se à multiplicação de poderes que têm as mesmas bases, a partir dos quais um poder de outro poder é obtido.

Exemplos:

(para^m)ⁿ = a^{m ∙ n}

(3²)³ = 3^2∙3 = 3⁶ = 729

7. Lei do expoente negativo

Se você tiver uma base com um expoente negativo (um^-n) devemos tomar a unidade dividida pela base que será elevada com o sinal do expoente em positivo, ou seja, 1 / aⁿ . Nesse caso, a base (a) deve ser diferente de 0, a ≠ 0.

Exemplo: 2^-3 expresso como uma fração é como:

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Leis dos radicais

A lei dos radicais é uma operação matemática que nos permite encontrar a base por meio da potência e do expoente.

Os radicais são as raízes quadradas que se expressam da seguinte forma √, e consiste em obter um número que, multiplicado por si mesmo, dá como resultado o que está na expressão numérica.

Por exemplo, a raiz quadrada de 16 é expressa da seguinte forma: √16 = 4; isso significa que 4,4 = 16. Nesse caso, não é necessário indicar o expoente dois na raiz. No entanto, no resto das raízes, sim.

Por exemplo:

A raiz cúbica de 8 é expressa da seguinte forma: ³√8 = 2, ou seja, 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

Outros exemplos:

ⁿ√1 = 1, pois todo número multiplicado por 1 é igual a ele mesmo.

ⁿ√0 = 0, pois todo número multiplicado por 0 é igual a 0.

1. Lei de cancelamento radical

Uma raiz (n) elevada à potência (n) é cancelada.

Exemplos:

(ⁿ√a)ⁿ = a.

(√4 )² = 4

(³√5 )³ = 5

2. Raiz de uma multiplicação ou produto

A raiz de uma multiplicação pode ser separada como uma multiplicação de raízes, independentemente do tipo de raiz.

Exemplos:

3. Raiz de uma divisão ou quociente

A raiz de uma fração é igual à divisão da raiz do numerador e da raiz do denominador.

Exemplos:

4. Raiz de uma raiz

Quando existe uma raiz dentro de uma raiz, os índices de ambas as raízes podem ser multiplicados a fim de reduzir a operação numérica a uma única raiz, e o radicando é mantido.

Exemplos:

5. Raiz de um poder

Quando temos um expoente em um número alto, ele é expresso como o número elevado dividindo o expoente pelo índice do radical.

Exemplos:

Veja também Álgebra.