Soma de polinômios, como fazer, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o soma de polinômios é a operação que consiste em adicionar dois ou mais polinômios, resultando em outro polinômio. Para tanto, é necessário somar os termos da mesma ordem de cada um dos polinômios e indicar a soma resultante.

Vamos primeiro revisar brevemente o significado de "termos da mesma ordem". Qualquer polinômio é feito de adições e / ou subtrações de termos.

Os termos podem ser produtos de números reais e uma ou mais variáveis, representadas por letras, por exemplo: 3x² e -√5.a²aC³ são termos.

Bem, os termos da mesma ordem são aqueles que têm o mesmo expoente ou potência, embora possam ter um coeficiente diferente.

- Os termos de igual ordem são: 5x³, √2 x³ e -1 / 2x³

-Diferentes termos do pedido: -2x^-2, 2xy^-1 e √6x²Y

É importante ter em mente que apenas termos da mesma ordem podem ser adicionados ou subtraídos, operação conhecida como redução. Caso contrário, a soma é simplesmente indicada à esquerda.

Uma vez que o conceito de termos da mesma ordem é esclarecido, os polinômios são adicionados seguindo estas etapas:

–Ordem Primeiramente os polinômios a serem adicionados, todos da mesma forma, seja de forma crescente ou decrescente, ou seja, com as potências de menor para maior ou vice-versa.

–Completar, caso falte alguma alimentação na sequência.

–Reduzir como termos.

–Indicar a soma resultante.

Exemplos de adição de polinômios

Começaremos adicionando dois polinômios com uma única variável chamada x, por exemplo, os polinômios P (x) e Q (x) dados por:

P (x) = 2x² - 5x⁴ + 2x –x⁵ - 3x³ +12

Q (x) = x⁵- 25 x + x²

Seguindo as etapas descritas, você começa ordenando-as em ordem decrescente, que é a forma mais comum:

P (x) = –x⁵- 5x⁴ - 3x³ + 2x² + 2x +12

Q (x) = x⁵+ x²- 25x

O polinômio Q (x) não está completo, vê-se que faltam potências com expoentes 4, 3 e 0. Este último é simplesmente o termo independente, aquele que não possui letra.

Q (x) = x⁵+ 0x⁴ + 0x³ + x²- 25x + 0

Depois que essa etapa for concluída, eles estão prontos para adicionar. Você pode adicionar os termos semelhantes e indicar a soma ou colocar os polinômios ordenados um abaixo do outro e reduzir por colunas, assim:

- x⁵- 5x⁴ - 3x³ + 2x² + 2x +12

+ x⁵+ 0x⁴ + 0x³ + x²- 25x + 0 +

----------

0x⁵–5x⁴ - 3x³ + 3x² - 23x + 12 = P (x) + Q (x)

É importante observar que quando adicionado, é feito algebricamente respeitando a regra dos sinais, desta forma 2x + (-25 x) = -23x. Ou seja, se os coeficientes têm um sinal diferente, eles são subtraídos e o resultado carrega o sinal do maior.

Adicione dois ou mais polinômios com mais de uma variável

Quando se trata de polinômios com mais de uma variável, escolhe-se uma delas para ordená-la. Por exemplo, suponha que você peça para adicionar:

R (x, y) = 5x² - 4 anos² + 8xy - 6y³

T (x, y) = ½ x²- 6a²- 11xy + x³Y

Uma das variáveis é escolhida, por exemplo x para solicitar:

R (x, y) = 5x² + 8xy - 6y³- 4 anos²

T (x, y) = + x³y + ½ x²- 11xy - 6y²

Os termos ausentes são imediatamente preenchidos, de acordo com os quais cada polinômio tem:

R (x, y) = 0x³y + 5x² + 8xy - 6y³- 4 anos²

T (x, y) = + x³y + ½ x²- 11xy + 0y³- 6a²

E vocês dois estão prontos para reduzir termos semelhantes:

0x³e + 5x² + 8xy - 6y³- 4 anos²

+ x³y + ½ x²- 11xy + 0y³- 6a² +

-----------–

+ x³y + 11 / 2x² - 3xy - 6y³- 10a² = R (x, y) + T (x, y)

Exercícios de adição polinomial

- Exercício 1

Na seguinte soma de polinômios, indique o termo que deve ir no espaço em branco para obter a soma polinomial:

-5x⁴ + 0x³+ 2x² + 1

x⁵ + 2x⁴ - 21x² + 8x - 3

2x⁵+ 9x³ -14x

--------

-6x⁵+ 10x⁴ -0x³ + 5x² - 11x + 21

Solução

Para obter -6x⁵ um termo do formulário machado é necessário⁵, tal que:

a + 1+ 2 = -6

Portanto:

a = -6-1-2 = -9

E o termo de pesquisa é:

-9x⁵

-Você procede de maneira semelhante para encontrar o resto dos termos. Aqui está aquele para o expoente 4:

-5 + 2 + a = 10 → a = 10 + 5-2 = 13

O termo ausente é: 13x⁴.

-Para potências de x³ é imediato que o prazo deve ser -9x³, desta forma o coeficiente do termo cúbico é 0.

- Quanto às potências quadradas: a + 8 - 14 = -11 → a = -11 - 8 + 14 = -5 e o termo é -5x².

-O termo linear é obtido por meio de a +8 -14 = -11 → a = -11 + 14 - 8 = -5, sendo o termo ausente -5x.

-Finalmente, o termo independente é: 1 -3 + a = -21 → a = -19.

- Exercício 2

Um terreno plano é cercado como mostrado na figura. Encontre uma expressão para:

a) O perímetro e

b) Sua área, nos comprimentos indicados:

Solução para

O perímetro é definido como a soma dos lados e contornos da figura. Começando no canto esquerdo inferior, no sentido horário, temos:

Perímetro = y + x + comprimento do semicírculo + z + comprimento diagonal + z + z + x

O semicírculo tem um diâmetro igual a x. Como o raio é a metade do diâmetro, você deve:

Raio = x / 2.

A fórmula para o comprimento de uma circunferência completa é:

L = 2π x Raio

Então:

Comprimento do semicírculo = ½. 2π (x / 2) = πx / 2

Por sua vez, a diagonal é calculada com o teorema de Pitágoras aplicado aos lados: (x + y) que é o lado vertical ez, que é o horizontal:

Diagonal = [(x + y)² + z²]^1/2

Essas expressões são substituídas pelo perímetro, para obter:

Perímetro = y + x + πx / 2 + z + [(x + y)² + z²]^1/2+ z + x + z

Termos semelhantes são reduzidos, uma vez que a soma exige que o resultado seja simplificado tanto quanto possível:

Perímetro = y + [x + π (x / 2) + x] + z + z + z + [(x + y)² + z²]^1/2 = y + (2 + π / 2) x + 3z

Solução b

A área resultante é a soma da área do retângulo, do semicírculo e do triângulo retângulo. As fórmulas para essas áreas são:

–Retângulo: base x altura

–Semicírculo: ½ π (raio)²

–Triângulo: base x altura / 2

Área retângulo

(x + y). (x + z) = x² + xz + yx + yz

Área semicírculo

½ π (x / 2)² = π x² / 8

Área do triângulo

½ z (x + y) = ½ zx + ½ zy

Área total

Para encontrar a área total, são adicionadas as expressões encontradas para cada área parcial:

Área total = x² + xz + yx + yz + (π x² / 8) + ½ zx + ½ zy

E, finalmente, todos os termos semelhantes são reduzidos:

Área total = (1 + π / 8) x²+ 3/2 xy + 3 / 2yz + yx

Referências

Baldor, A. 1991. Algebra. Editorial Cultural Venezolana S.A.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Math is Fun. Adicionando e subtraindo polinômios. Recuperado de: mathsisfun.com.
Monterey Institute. Adicionando e subtraindo polinômios. Recuperado de: montereyinstitute.org.
UC Berkeley. Álgebra de polinômios. Recuperado de: math.berkeley.edu.