Fatoração por fator comum: exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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o fatoração de fator comum de uma expressão algébrica consiste em determinar dois ou mais fatores cujo produto é igual à expressão proposta. Desta forma, procurando o fator comum, sempre inicia o processo de factoring.

Para isso, observa-se se há presença de um termo comum, que pode ser tanto letras quanto números. No caso das letras, os literais comuns a todos os termos com o expoente mais baixo são tomados como um fator comum, e para os números, o maior divisor comum (GCF) de todos os coeficientes é calculado.

O produto de ambos os fatores comuns, sempre que diferente de 1, será o fator comum da expressão. Uma vez encontrado, ao dividir cada termo pelo referido fator, é estabelecida a fatoração final.

Aqui está um exemplo de como fazer isso, fatorando este trinômio:

4x⁵-12x³+ 8x²

Vê-se que todos os termos contêm o literal "x", cuja menor potência é x². Em relação aos coeficientes numéricos: 4, -12 e 8 são todos múltiplos de 4. Portanto, o fator comum é 4x².

Uma vez que o fator é encontrado, cada termo da expressão original é dividido por ele:

4x⁵ / 4x² = x³
-12x³ / 4x² = -3x
8x²/ 4x² = 2

Por fim, a expressão é reescrita como o produto do fator comum e a soma dos resultados das operações anteriores, assim:

4x⁵-12x³+ 8x² = 4x² (x³ - 3x +2)

Como fatorar quando não há fator comum

Se o fator comum não for evidente como no exemplo anterior, ainda é possível fatorar olhando cuidadosamente para a expressão, para ver se algum dos seguintes métodos pode ser implementado:

Diferença de dois quadrados perfeitos

É uma expressão binomial da forma:

para² - b²

Que pode ser fatorado aplicando o produto notável:

para² - b² = (a + b) ⋅ (a-b)

O procedimento é o seguinte:

-Primeiro, extraia a raiz quadrada de cada um dos quadrados perfeitos.

-A seguir forme o produto entre a soma das ditas raízes e sua diferença, conforme indicado.

Trinômio quadrado perfeito

Os trinômios da forma:

x² ± 2a⋅x + a²

Eles são fatorados pelo produto notável:

(x + a)²= x² ± 2a⋅x + a²

Para aplicar esta fatoração, é necessário verificar que o trinômio realmente possui dois quadrados perfeitos, e que o termo remanescente é o duplo produto das raízes quadradas dos referidos valores.

Trinomial da forma x² + mx + n

Se o trinômio a ser fatorado não tiver dois quadrados perfeitos, tente escrevê-lo como o produto de dois termos:

x² + mx + n = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Onde deve ser cumprido desde que:

n = a⋅b

m = a + b

Fatoração por agrupamento de termos

Às vezes, a expressão a ser fatorada não tem um fator comum, nem corresponde a nenhum dos casos descritos acima. Mas se o número de seus termos for par, você pode tentar este procedimento:

- Pares de grupos que têm um fator comum.

-Fatorar cada par por meio de um fator comum, de forma que os termos entre parênteses sejam iguais, ou seja, de forma que os parênteses por sua vez sejam um fator comum. Se o agrupamento escolhido não funcionar, você deve tentar outra combinação para encontrá-lo.

-A fatoração procurada é o produto dos termos entre parênteses pelos fatores comuns de cada par.

Os exemplos a seguir ajudarão a esclarecer os casos discutidos.

Exemplos

Fatore as seguintes expressões algébricas:

a) 6ab² - 18²b³

Este é um exemplo de um fator comum. Começando com a parte literal, as letras aeb estão presentes em ambos os termos. Para a variável “a”, o menor expoente é 1 e está no termo 6ab², enquanto para a letra "b" o menor expoente é b².

Então ab² é um fator comum na expressão original.

Quanto aos números, são 6 e -18, este último é um múltiplo de 6, pois -18 = - (6 × 3). Portanto, 6 é o coeficiente numérico do fator comum, que é multiplicado pelos resultados da parte literal:

6ab²

Agora divida cada termo original por este fator comum:

6ab² ÷ 6ab²= 1
(-18²b³) ÷ 6ab² = -3ab

Finalmente, a expressão original é reescrita como um produto entre o fator comum e a soma algébrica dos termos encontrados na etapa anterior:

6ab² - 18²b³ = 6ab² ⋅ (1–3ab)

b) 16x² – 9

Esta expressão é uma diferença de quadrados perfeitos, portanto, ao tirar a raiz quadrada de ambos os termos, obtemos, respectivamente:

√ (16x²) = 4x

√9 = 3

A expressão original é escrita como o produto da soma dessas raízes quadradas e sua diferença:

16x² - 9 = (4x + 3) (4x-3)

c) z² + 6z + 8

É um trinômio da forma x² + mx + n, visto que 8 não é um quadrado perfeito de outro inteiro, então temos que encontrar dois números aeb de modo que eles se cumpram simultaneamente:

a.b = 8
a + b = 6

Por tentativa e erro, ou seja, por teste, os números buscados são 4 e 2, pois:

4 × 2 = 8 e 4 + 2 = 6

Então:

z² + 6z + 8 = (z + 4) ⋅ (z + 2)

O leitor pode verificar, aplicando a propriedade distributiva do lado direito da igualdade, que ambas as expressões são equivalentes.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

Essa expressão é candidata a fatoração por agrupamento de termos, uma vez que não há um fator comum óbvio a olho nu e também possui um número par de termos.

É agrupado da seguinte forma, sabendo-se que a ordem dos adendos não altera a soma:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² –3xy) + (4x - 6y)

Cada parêntese tem seu próprio fator comum:

(2x² - 3xy) + (4x - 6y) = x (2x - 3y) + 2 (2x - 3y)

O fator comum definitivo já foi revelado: é o parêntese que se repete em ambos os termos (2x -3y).

Agora você pode fatorar novamente:

x (2x - 3y) ÷ (2x - 3y) = x
2 (2x - 3y) ÷ (2x - 3y) = 2

Portanto:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x - 3y) (x + 2)

Novamente, o leitor pode aplicar a propriedade distributiva ao direito de igualdade, para verificar a igualdade.

Exercícios resolvidos

Fatorar:

a) e² - 10a + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

d) 3a⁴ + a³ + 15a + 5

Solução para

É um trinômio quadrado perfeito, começamos encontrando a raiz quadrada dos termos quadrados perfeitos:

√ (e²) = e

√ 25 = 5

Verifica-se que o termo central é o duplo produto desses dois:

10y = 2. 5. y

E a fatoração buscada é:

Y² - 10y + 25 = (y-5)²

Solução b

A expressão também é um trinômio quadrado perfeito:

√ (4x²) = 2x

√ (9 anos²) = 3y

O termo central é verificado:

12xy = 2⋅2x⋅3y

Finalmente:

4x² + 12xy + 9y² = (2x + 3y)²

Solução c

O problema é de um trinômio do tipo x² + mx + n:

n = a⋅b = -14 = 7 x (- 2)

m = a + b = 5 = 7 + (- 2) = 5

Os números apropriados são 7 e -2:

x² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Solução d

3ª⁴ + a³ + 15a + 5 = (3a⁴ + a³) + (15a + 5)

O fator comum de (3a⁴ + a³) aquele³ e o de (15a + 5) é 5, sendo agrupado assim:

(3ª⁴ + a³) + (15a + 5) = a³ (3a + 1) + 5 (3a + 1) = (3a + 1) (a³ + 5)

Referências

Baldor, A. 2005. Algebra. Grupo Cultural Patria.
Larson, R. 2012. Precalculus. 8º. Edição. Cengage Learning.
MathWorld. Fatoração. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.
MathWorld. Fatoração polinomial. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.
Stewart, J. 2007. Pré-cálculo: Matemática para o cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.