Coeficiente de restituição: conceito, fórmula, cálculo, exemplo - Ciência - 2023

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o coeficiente de restituição é o quociente entre a velocidade relativa de recuo e a velocidade relativa de aproximação de dois corpos em colisão. Quando os corpos são unidos após a colisão, esse quociente é zero. E a unidade vale no caso em que a colisão seja perfeitamente elástica.

Suponha duas esferas sólidas de massa M1 e massa M2 respectivamente que sofrem uma colisão. Pouco antes da colisão, as esferas tinham velocidades V1 Y V2 com respeito a um certo sistema de referência inercial. Logo após a colisão, suas velocidades mudam para V1 ' Y V2 '.

A carta foi colocada negrito em velocidades para indicar que são quantidades vetoriais.

As experiências indicam que cada colisão cumpre a seguinte relação:

V1 ' – V2 ’= -e (V1 – V2)

Ondee é um número real entre 0 e 1, chamado de coeficiente de restituição da colisão. A expressão acima é interpretada assim:

A velocidade relativa de duas partículas antes da colisão é proporcional à velocidade relativa das duas partículas após a colisão, a constante de proporcionalidade é (-e), onde e é o coeficiente de restituição da colisão.

Para que serve o coeficiente de restituição?

A utilidade deste coeficiente reside em conhecer o grau de inelasticidade de uma colisão.No caso da colisão ser perfeitamente elástica, o coeficiente será 1, enquanto na colisão totalmente inelástica o coeficiente será 0, pois neste caso a velocidade relativa após a colisão é zero.

Por outro lado, se o coeficiente de restituição de uma colisão e as velocidades das partículas antes dela forem conhecidas, então as velocidades após a ocorrência da colisão podem ser previstas.

Momentum

Nas colisões, além da relação estabelecida pelo coeficiente de restituição, existe outra relação fundamental, que é a conservação de momentum.

Momentum p de uma partícula, ou momento, como também é chamado, é o produto da massa M da partícula por sua velocidade V. Ou seja: o momentum p é uma quantidade vetorial.

Em colisões, o momento linear P do sistema é o mesmo antes e logo depois da colisão, porque as forças externas são insignificantes em comparação com as forças breves, mas intensas de interação interna durante a colisão. Mas a conservação do momento não é suficiente P sistema para resolver o problema geral de colisão.

No caso mencionado anteriormente, o das duas esferas colidindo de massas M1 e M2, a conservação do momento linear é escrita assim:

M1 V1 + M2 V2 = M1 V1 ' + M2 V2 '.

Não há como resolver o problema da colisão se o coeficiente de restituição não for conhecido. A conservação do momento, embora necessária, é insuficiente para prever as velocidades após a colisão.

Quando um problema afirma que os corpos continuam movendo-se juntos após a colisão, isso implicitamente diz que o coeficiente de restituição é 0.

Energia e coeficiente de restituição

A outra quantidade física importante envolvida nas colisões é a energia. Durante as colisões, há trocas de energia cinética, energia potencial e outros tipos de energia, como energia térmica.

Antes e depois da colisão, a energia potencial de interação é praticamente zero, então o balanço de energia envolve a energia cinética das partículas antes e depois e uma quantidade Q chamada energia dissipada.

Para as duas esferas de massa em colisão M1 e M2, o balanço de energia antes e depois da colisão é escrito da seguinte forma:

½ M1 V1^ 2 + ½ M2 V2^ 2 = ½ M1 V1 '^ 2 + ½ M2 V2 '^ 2 + Q

Quando as forças de interação durante a colisão são puramente conservadoras, acontece que o energia cinética total das partículas em colisão é conservado, ou seja, é o mesmo antes e depois da colisão (Q = 0). Quando isso acontece, a colisão é considerada perfeitamente elástica.

Em casos de colisões elásticas, nenhuma energia é dissipada. E também o coeficiente de restituição está em conformidade com: e = 1.

Pelo contrário, nas colisões inelásticas Q ≠ 0 e 0 ≤ e <1. Sabemos, por exemplo, que a colisão de bolas de bilhar não é perfeitamente elástica porque o som que é emitido durante o impacto faz parte da energia dissipada .

Para que um problema de colisão seja perfeitamente determinado, é necessário conhecer o coeficiente de restituição ou, alternativamente, a quantidade de energia dissipada durante a colisão.

O coeficiente de restituição depende da natureza e do tipo de interação entre os dois corpos durante a colisão.

Por sua vez, a velocidade relativa dos corpos antes da colisão definirá a intensidade da interação e, portanto, sua influência no coeficiente de restituição.

Como é calculado o coeficiente de restituição?

Para ilustrar como o coeficiente de restituição de uma colisão é calculado, tomaremos um caso simples:

Suponha que a colisão de duas esferas de massas M1 = 1 kg Y M2 = 2 kg que se movem sobre um trilho reto sem atrito (como na figura 1).

A primeira esfera atinge com velocidade inicial V1 = 1 m / s no segundo que está originalmente em repouso, isto é V2 = 0 m / s.

Após a colisão, eles continuam se movendo assim: o primeiro para (V1 ’= 0 m / s) e o segundo se move para a direita com velocidade V2 ’= 1/2 m / s.

Para calcular o coeficiente de restituição nesta colisão, aplicamos a relação:

V1 ' – V2 ' = -e ( V1 – V2 )

0 m / s - 1/2 m / s = - e (1 m / s - 0 m / s) => - 1/2 = - e => e = 1/2 .

Exemplo

Na colisão unidimensional das duas esferas na seção anterior, seu coeficiente de restituição foi calculado, resultando em e = ½.

Como e ≠ 1 a colisão não é elástica, ou seja, a energia cinética do sistema não é conservada e existe uma certa quantidade de energia dissipada Q (por exemplo, aquecimento das esferas devido à colisão).

Determine o valor da energia dissipada em Joules. Calcule também a porcentagem da fração de energia dissipada.

Solução

A energia cinética inicial da esfera 1 é:

K1i = ½ M1 V1 ^ 2 = ½ 1 kg (1 m / s) ^ 2 = ½ J

enquanto o da esfera 2 é zero porque está inicialmente em repouso.

Então, a energia cinética inicial do sistema é Ki = ½ J.

Após a colisão, apenas a segunda esfera se move com velocidade V2 ’= ½ m / s, então a energia cinética final do sistema será:

Kf = ½ M2 V2 ’^ 2 = ½ 2 kg (½ m / s) ^ 2 = ¼ J

Ou seja, a energia dissipada na colisão é:

Q = Ki - Kf = (½ J - ¼ J) = 1/4 J

E a fração de energia dissipada nesta colisão é calculada da seguinte forma:

f = Q / Ki = ¼ / ½ = 0,5, ou seja, 50% da energia do sistema se dissipou devido à colisão inelástica cujo coeficiente de restituição é 0,5.

Referências

Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
Figueroa, D. 2005. Série: Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB).
Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1.
Wikipedia. Quantidade de movimento recuperado de: en.wikipedia.org.