Perímetro do círculo: como retirá-lo e fórmulas, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

Contente

o perímetro do círculo é o conjunto de pontos que formam o contorno de um círculo e também é conhecido como comprimentoda circunferência. Depende do raio, pois uma circunferência maior obviamente terá um contorno maior.

Estar P o perímetro de um círculo e R o raio dele, então podemos calcular P com a seguinte equação:

P = 2π.R

Onde π é um número real (leia-se “pi”) que vale aproximadamente 3,1416… A elipse se deve ao fato de que π possui infinitas casas decimais.Portanto, ao fazer os cálculos, é necessário arredondar seu valor.

Porém, para a maioria das aplicações, basta pegar o valor indicado aqui, ou usar todos os decimais que a calculadora com a qual você está trabalhando retorna.

Se, em vez de ter o raio, for preferível usar o diâmetro D, que sabemos ser o dobro do raio, o perímetro é expresso da seguinte forma:

P = π.2R = π.D

Como o perímetro é um comprimento, ele deve sempre ser expresso em unidades como metros, centímetros, pés, polegadas e mais, dependendo do sistema preferido.

Circunferências e círculos

Freqüentemente, são termos usados de forma intercambiável, ou seja, como sinônimos. Mas acontece que existem diferenças entre eles.

A palavra "perímetro" vem do grego "peri", que significa contorno e "metro" ou medida. A circunferência é o contorno ou perímetro do círculo. Formalmente, é definido da seguinte forma:

Um círculo é o conjunto de pontos com distância igual a um ponto denominado centro, sendo essa distância o raio da circunferência.

Por sua vez, o círculo é definido da seguinte forma:

Um círculo é o conjunto de pontos cuja distância até um ponto chamado centro é Menor ou igual a uma distância fixa chamada rádio.

O leitor pode ver a diferença sutil entre os dois conceitos. A circunferência se refere apenas ao conjunto de pontos na borda, enquanto o círculo é o conjunto de pontos da borda para o interior, dos quais a circunferência é o limite.

Exercíciosddemonstração do cálculo do perímetro do círculo

Por meio dos exercícios a seguir, os conceitos descritos acima serão colocados em prática, assim como alguns outros que serão explicados à medida que vão surgindo. Começaremos do mais simples e o grau de dificuldade aumentará progressivamente.

- Exercício 1

Encontre o perímetro e a área do círculo com raio de 5 cm.

Solução

A equação dada no início é aplicada diretamente:

P = 2π.R= 2π.5 cm = 10 π cm = 31,416 cm

Para calcular a área PARA a seguinte fórmula é usada:

PARA = π.R² = π. (5cm)²= 25π cm²= 78,534 cm²

- Exercício 2

a) Encontre o perímetro e a área da região em branco na figura a seguir. O centro do círculo sombreado está no ponto vermelho, enquanto o centro do círculo branco é o ponto verde.

b) Repita a seção anterior para a região sombreada.

Solução

a) O raio do círculo branco é de 3 cm, portanto aplicamos as mesmas equações do exercício 1:

P = 2π.R= 2π.3 cm = 6 π cm = 18,85 cm

PARA = π.R² = π. (3cm)²= 9π cm²= 28,27 cm²

b) Para o círculo sombreado, o raio é de 6 cm, seu perímetro é o dobro do calculado na seção a):

P = 2π.R= 2π.6 cm = 12 π cm = 37,70 cm

E, finalmente, a área da região sombreada é calculada da seguinte forma:

- Primeiro encontramos a área do círculo sombreado como se estivesse completa, que chamaremos de A ', assim:

PARA = π.R²= π. (6 cm)² = 36π cm²= 113,10 cm²

– Em seguida, para a área PARA É subtraída a área do círculo branco, previamente calculada na seção a), desta forma é obtida a área solicitada, que será simplesmente denotada como A:

A = A´ - 28,27 cm² = 113,10-28,27 cm² = 84,83 cm²

- Exercício 3

Encontre a área e o perímetro da região sombreada na seguinte figura:

Solução

Cálculo da área da região sombreada

Primeiro calculamos a área de setor circular ou cunha, entre os segmentos retos OA e OB e o segmento circular AB, conforme mostrado na figura a seguir:

Para isso, utiliza-se a seguinte equação, que nos dá a área de um setor circular, conhecendo o raio R e o ângulo central entre os segmentos OA e OB, ou seja, dois dos raios da circunferência:

PARA_{setor circular} = π.R². (αº/360º)

Onde αº é o ângulo central –é central porque seu vértice é o centro da circunferência- entre dois raios.

Etapa 1: calcular a área do setor circular

Desta forma, a área do setor mostrada na figura é:

PARA_{setor circular} = π.R². (αº / 360º) = π. (8 cm)². (60º/360º) = (64/6) π cm²= 33,51 cm²

Etapa 2: calcular a área do triângulo

Em seguida, vamos calcular a área do triângulo branco na figura 3. Este triângulo é equilátero e sua área é:

PARA_triângulo = (1/2) base x altura

A altura é a linha vermelha pontilhada vista na figura 4. Para encontrá-la, você pode usar o teorema de Pitágoras, por exemplo. Mas não é o único caminho.

O leitor atento terá notado que o triângulo equilátero é dividido em dois triângulos retângulos idênticos, cuja base é de 4 cm:

Em um triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras é cumprido, portanto:

PARA_triângulo = (1/2) base x altura = (1/2) 8 cm x 6,93 cm = 27,71 cm².

Etapa 3: calcular a área sombreada

Simplesmente subtraia a área maior (a do setor circular) da área menor (a do triângulo equilátero): A _{região sombreada} = 33,51 cm² - 27,71 cm² = 5,80 cm².

Cálculo do perímetro da região sombreada

O perímetro procurado é a soma do lado retilíneo de 8 cm e o arco de circunferência AB. Agora, a circunferência completa subtende 360º, portanto, um arco que subtende 60º é um sexto do comprimento completo, que sabemos ser 2.π.R:

AB = 2.π.R / 6 = 2.π.8 cm / 6 = 8,38 cm

Substituindo, o perímetro da região sombreada é:

P = 8 cm + 8,38 cm = 16,38 cm.

Formulários

O perímetro, assim como a área, é um conceito muito importante em geometria e com muitas aplicações na vida diária.

Artistas, designers, arquitetos, engenheiros e muitas outras pessoas aproveitam o perímetro no desenvolvimento de seus trabalhos, especialmente o de um círculo, já que a forma redonda está em toda parte: da publicidade, passando pelos alimentos, às máquinas.

Para saber diretamente o comprimento de uma circunferência, basta enrolá-la com um fio ou barbante, estender esse fio e medi-lo com uma fita métrica. A outra alternativa é medir o raio ou diâmetro do círculo e usar uma das fórmulas descritas acima.

Na vida cotidiana, o conceito de perímetro é usado quando:

-O molde adequado é escolhido para um determinado tamanho de pizza ou bolo.

- Vai ser desenhada uma via urbana, calculando o tamanho de um frasco onde os carros podem virar para mudar de direção.

-Sabemos que a Terra gira em torno do Sol em uma órbita quase circular –as órbitas planetárias são elípticas, de acordo com as leis de Kepler-, mas a circunferência é uma aproximação muito boa para a maioria dos planetas.

-O tamanho apropriado de um anel é escolhido para ser comprado em uma loja online.

- Escolhemos uma chave do tamanho certo para soltar a porca.

E muitos mais.

Referências

Tutoriais de matemática grátis. Área e Perímetro de um Círculo - Calculadora Geométrica. Recuperado de: analyzemath.com.
Referência de matemática aberta. Circunferência, perímetro de um círculo. Recuperado de: mathopenref.com.
Monterey Institute. Perímetro e área. Recuperado de: montereyinstitute.org.
Ciência. Como encontrar o perímetro de um círculo. Recuperado de: sciencing.com.
Wikipedia. Circunferência. Recuperado de: en.wikipedia.org.